Supremo e ínfimo

Em matemática, definem-se os conceitos de majorante/cota superior, minorante/cota inferior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Embora estes conceitos estejam todos relacionados, são bem diferentes.

Na análise real, estes conceitos adquirem relevância desde a própria construção dos números reais e estão intimamente ligados à ideia de limite.

Definições

Seja $S\,$, um subconjunto de um conjunto $P\,$ parcialmente ordenado pela relação $\leq \,$.

• Um elemento $M\in P\,$ é dito majorante, limite superior ou cota superior de $S\,$ se:

$x\leq M,~~\forall x\in S$

• Um elemento $m\in P\,$ é dito minorante, limite inferior ou cota inferior de $S\,$ se:

$m\leq x,~~\forall x\in S$

• Um elemento $s\in P\,$ é dito supremo de $S\,$ se for o menor dos majorantes:

$x\leq s,~~\forall x\in S$ e

$x\leq s',~~\forall x\in S\Rightarrow s\leq s'$

• Um elemento $i\in P\,$ é dito ínfimo de $S\,$ se for o maior dos minorantes:

$i\leq x,~~\forall x\in S$ e

$i'\leq x,~~\forall x\in S\Rightarrow i'\leq i$

• Um majorante $M\in P\,$ é dito máximo de $S\,$ se $M\in S\,$.
• Um minorante $m\in P\,$ é dito mínimo de $S\,$ se $m\in S\,$.
• Se um conjunto tem majorante, diz-se que está limitado superiormente.
• Se um conjunto tem minorante, diz-se que está limitado inferiormente.

Notação

• Se um conjunto $S\,$ possui máximo, ele é denotado:

$\max S=\max _{x\in S}x$

• Se um conjunto $S\,$ possui mínimo, ele é denotado:

$\min S=\min _{x\in S}x$

• Se um conjunto $S\,$ possui supremo, ele é denotado:

$\sup S=\sup _{x\in S}x$

• Se um conjunto $S\,$ possui ínfimo, ele é denotado:

$\inf S=\inf _{x\in S}x$

Se $f:S\to P\,$ é uma função de um conjunto $S\,$ em um conjunto parcialmente ordenado $P\,$, então usa-se a notação:

$\sup f(S)=\sup _{x\in S}f(x)$ e suas análogas.

Completude

Seja (A, ≤) um conjunto parcialmente ordenado. A é dito completo se para todo conjunto B⊆A, B≠∅, se B tem majorante, então tem supremo.

Este conceito não deve ser confundido com a completude lógica nem com a completude de uma teoria axiomática, pois são conceitos diferentes.

Exemplos

• O intervalo fechado $\left[0,1\right]=\left\{x\in \mathbb {R} :\;0\leq x\leq 1\right\}\,$ possui um elemento mínimo $0$ e máximo $1$.
• O intervalo semi fechado $\left[0,1\right)=\left[0,1\right[=\left\{x\in \mathbb {R} :\;0\leq x<1\right\}\,$ possui um elemento mínimo $0$, todo $x\geq 1,x\in \mathbb {R} ,$ é majorante do conjunto e seu supremo nos reais é o $1$ que não pertence ao conjunto e, portanto, esse conjunto não tem máximo.
• $\left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2\right\}$

Esse conjunto possui um supremo real, ${\sqrt {2}}\,$ e infinitas cotas superiores racionais. No entanto, não possui supremo nos números racionais. Portanto, o conjunto dos números racionais não é completo. Por outro lado, o conjunto dos números reais é completo.

• ${\mathcal {P}}\!\left(A\right)$, para um conjunto qualquer $A$ considerando a ordem parcial ampla inclusão, $\subseteq$

Esse conjunto tem mínimo $\varnothing$ e máximo $A$, segundo a ordem $\subseteq$.

Todo $B\subseteq {\mathcal {P}}\!\left(A\right),B\neq \varnothing$ tem supremo e ínfimo em ${\mathcal {P}}\!\left(A\right)$, segundo a ordem $\subseteq$.

Propriedades

• $\inf S\leq \sup S\,$, contanto que ambos existam.

Propriedades de monotonicidade:

• $A\subseteq B\Longrightarrow \sup A\leq \sup B\,$, contanto que ambos existam.
• $A\subseteq B\Longrightarrow \inf B\leq \inf A\,$, contanto que ambos existam.

Propriedades algébricas:

• Se $A$ e $B$ são conjuntos limitados e $A+B=\{x+y:x\in A,y\in B\}$ então

$\sup(A+B)=\sup A+\sup B$ e $\inf(A+B)=\inf A+\inf B$.

• Se $A$ é um conjunto limitado e $k\in \mathbb {R}$ então

$\sup(kA)={\begin{cases}k\sup A,&{\text{if }}k\geq 0,\\k\inf A,&{\text{if }}k<0,\end{cases}}$ e $\inf(kA)={\begin{cases}k\inf A,&{\text{se }}k\geq 0,\\k\sup A,&{\text{se }}k<0,\end{cases}}$

onde $kA=\{kx:x\in A\}.$ (Ver Elon Lages Lima).

No conjunto de números reais

Ver artigo principal: axioma do supremo

• Todo conjunto não-vazio de números reais limitado superiormente possui um supremo.
• Todo conjunto não-vazio de números reais limitado inferiormente possui um ínfimo.

Considerando os reais estendidos, $\mathbb {R} _{e}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$, podemos considerar:

• O supremo de um conjunto não limitado superiormente é definido como $+\infty \,$.
• O ínfimo de um conjunto não limitado inferiormente é definido como $-\infty \,$.
• Na notação de supremo, temos que uma função $f:D\to \mathbb {R} \,$ é limitada se e somente se:

$\exists \sup _{x\in D}|f(x)|$, ou, considerando os reais estendidos, $\sup _{x\in D}|f(x)|<\infty$

Supremo e ínfimo do conjunto vazio

Ainda considerando os números reais estendidos, por completeza e a fim de manter a monotonicidade, definem-se o supremo e o ínfimo do conjunto vazio (quando este é visto como um subconjunto dos reais):

• $\sup \emptyset =-\infty \,$
• $\inf \emptyset =\infty \,$