Análise funcional

A análise funcional é o ramo da matemática, e mais especificamente da análise, que trata do estudo de espaços de funções. Tem suas raízes históricas no estudo de transformações, tais como a Transformada de Fourier, e no estudo de equações diferenciais e equações integrais. A palavra funcional remonta ao cálculo de variações, implicando uma função cujo argumento é uma função. Seu uso em geral é atribuído a Volterra.

Um grande impulso para o avanço da análise funcional durante o século XX foi a modelagem, devida a John von Neumann, da mecânica quântica em espaços de Hilbert.

Entre os teoremas importantes da análise funcional, estão:

• teorema de Hahn-Banach
• teorema da função aberta
• teorema do ponto fixo de Banach
• teorema do ponto fixo de Schauder
• teorema de Banach-Alaoglu

Relação com outras áreas da matemática

A análise funcional faz uso de muitos conceitos de álgebra linear, e pode ser considerada até certo ponto como o estudo de espaços normados de dimensão infinita. Durante o século XX diversas técnicas da topologia foram aplicadas no estudo da análise funcional, principalmente a teoria do grau. Um tópico da análise funcional que possui forte relação com a topologia é o estudo dos espaços vetoriais localmente convexos, onde não se admite necessariamente a existência de uma norma definindo uma topologia sobre os espaços vetoriais estudados. A partir da segunda metade do século XX, graças aos trabalhos de von Neumann, Naimark e Gelfand, a análise funcional tem sido utilizada no estudo de álgebras não-comutativas e da K-teoria algébrica.

Ver também

• Física matemática
• Espaços topológicos
• Funções contínuas
• Espaços métricos
• Espaços de medida
• Funções integráveis
• Integrais de Riemann e Lebesgue
• Integral de Riemann
• Integral de Lebesgue
• Espaço Lp
• Espaço normal
• Espaço normado
• Espaço de Banach
• Aplicação linear
• Funcional linear
• Espaços dual
• Espaços de Hilbert
• Séries de Fourier
• Operadores lineares contínuos
• Ergodicidade

Bibliografia

• Chaim Samuel Hönig, Análise funcional e o problema de Sturm-Liouville; Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Conselho Nacional de Pesquisas, 1971, OCLC 3860263
• Luis Adauto Medeiros, Tópicos de análise funcional; Instituto de Matemática. Universidade Federal de Pernambuco, 1968 OCLC 3860263
• Chaim Samuel Hönig, Análise funcional e aplicações; São Paulo, Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, 1970. OCLC 10851054
• Klaus Floret, Algumas idéias básicas da análise funcional linear; Sociedade Paranaense de Matemática, 1987 OCLC 64018339
• Semana de Análise Funcional não Linear, Atas de Análise Funcional não Linear: Instituto de Matemática e Estatística da USP.; Sociedade Brasileira de Matemática, 1974 OCLC 707693913
• Jaime Lesmes, Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Brazil), Seminário de análise funcional; Instituto de Matemática Aplicada, 1976 OCLC 3263410