Fórmula de Stirling

Em matemática, a fórmula de Stirling ou aproximação de Stirling é uma fórmula que estabelece uma aproximação assintótica ao fatorial de um número. Recebe o nome do matemático James Stirling.

Comparação da aproximação de Stirling com a função fatorial

Na sua forma mais conhecida, a fórmula escreve-se:

$n\,!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({n \over e}\right)^{n}$,

onde $e$ é o número de Euler, tal que $e=2,71828...$

O que é uma notação para o limite:

$\lim _{n\to +\infty }{n\,! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1$.

A fórmula de Stirling é apresentada também de outra forma, comummente utilizada em aplicações na física, por exemplo. Quando $n\rightarrow \infty$, o logaritmo natural de um fatorial é dado por:

$\ln n!=n\cdot \ln n-n$

História

Esta fórmula foi parcialmente descoberta por Abraham de Moivre que estabeleceu o resultado:

$n\,!\sim C\;n^{n+1/2}\,\mathrm {e} ^{-n}$, onde C é uma constante real não nula.

Stirling completou a demonstração calculando o valor de $C={\sqrt {2\pi }}$

Ver também

• Método da descida mais íngreme - contém uma demonstração da fórmula

Bibliografia

• Abramowitz, M. & Stegun, I. (2002), Handbook of Mathematical Functions 
• Nemes, G. (2010), «New asymptotic expansion for the Gamma function», Archiv der Mathematik, 95 (2): 161–169, doi:10.1007/s00013-010-0146-9 
• Paris, R. B. & Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and the Mellin–Barnes Integrals, ISBN 0-521-79001-8, New York: Cambridge University Press 
• Whittaker, E. T. & Watson, G. N. (1996), A Course in Modern Analysis, ISBN 0-521-58807-3 4th ed. , New York: Cambridge University Press