Arbelos
Em geometria, um arbelos é uma região plana delimitada por três semicírculos com três vértices, de modo que cada canto de cada semicírculo é compartilhado com um dos outros (conectado), todos do mesmo lado de uma linha reta (a linha de base ) que contém seus diâmetros.[1]
A mais antiga referência conhecida a esta figura está no Livro de Lemmas de Arquimedes, onde algumas de suas propriedades matemáticas são declaradas como Proposições 4 a 8.[2] A palavra arbelos é grega para 'faca de sapateiro'. A figura está intimamente relacionada com a Corrente de Papo.
Propriedades
editarDois dos semicírculos são necessariamente côncavos, com diâmetros arbitrários a e b ; o terceiro semicírculo é convexo, com diâmetro a+b.
Área
editarA área do arbelos é igual à área de um círculo de diâmetro HA.
Prova: para a prova, reflita o arbelos sobre a linha através dos pontos B e C, observando que duas vezes a área do arbelos é o que sobra quando as áreas dos dois círculos menores (com diâmetros BA e AC) são subtraídos da área do círculo maior (com diâmetro BC). Já que á área do círculo é proporcional ao quadrado do diâmetro (Elementos de Euclides, Livro XII, Proposição 2; não precisamos saber que a constante de proporcionalidade é π4), o problema se reduz a mostrar que . O comprimento |BC| é igual à soma dos comprimentos |BA| e |AC|, logo a equação se simplifica para . Logo, podemos afirmar que o comprimento do segmento AH é a média geométrica dos comprimentos dos segmentos BA and AC. Agora (ver figura abaixo) o triângulo BHC, sendo inscrito ao semicírculo, tem um ângulo reto no ponto H (Elementos, Livro III, Proposição 31), e consequentemente |HA| é de fato uma "média proporcional" entre |BA| e |AC| (Elementos, Livro VI, Proposição 8, Porisma). Esta prova aproxima o antigo argumento grego; Harold P. Boas cita um artigo de Roger B. Nelsen[3] que implementou a ideia como uma prova visual.[4]
Retângulo
editarSejam D e E os pontos onde os segmentos BH e CH interceptam os semicírculos AB e AC, respectivamente. O quadrilátero ADHE é na verdade um retângulo .
- Prova : ∠BDA, ∠BHC, e ∠AEC são ângulos retos porque estão inscritos em semicírculos (pelo teorema de Tales). O quadrilátero ADHE portanto, tem três ângulos retos, portanto é um retângulo. QED
Tangentes
editarA linha DE é tangente ao semicírculo BA em D e ao semicírculo AC em E .
- Prova : Como ∠BDA é um ângulo reto, ∠DBA é igual a π2 menos ∠DAB. Contudo, ∠DAH é igual a π2 menos ∠DAB (já que ∠HAB é um ângulo reto). Logo, os triângulos DBA e DAH são similares. Com isso, ∠DIA é igual a ∠DOH, onde I é o ponto médio de BA e O é o ponto médio de AH. Mas ∠AOH é uma linha reta, então ∠DOH e ∠DOA são ângulos suplementares. Portanto a soma de ∠DIA e ∠DOA é π. ∠IAO é um ângulo reto. A soma dos ângulos em qualquer quadrilátero é 2π, então no quadrilátero IDOA, ∠IDO deve ser um ângulo reto. Mas ADHE é um retângulo, então o ponto médio O de AH (a diagonal do retângulo) também é o ponto médio de DE (a outra diagonal do retângulo). Como I (definido como o ponto médio de BA) é o centro do semicírculo BA, e o ângulo ∠IDE é um ângulo reto, então DE é tangente ao semicírculo BA em D. Por raciocínio análogo, DE é tangente ao semicírculo AC em E. Q.E.D.
Círculos de arquimedes
editarA altitude AH divide os arbelos em duas regiões, cada uma limitada por um semicírculo, um segmento de linha reta e um arco do semicírculo externo. Os círculos inscritos em cada uma dessas regiões, conhecidos como círculos de Arquimedes dos arbelos, têm o mesmo tamanho.
Variações e generalizações
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O parbelos é uma figura semelhante ao arbelos, que usa segmentos de parábola em vez de semicírculos. Uma generalização que compreende arbelos e parbelos é o f -belos, que usa um certo tipo de funções diferenciáveis semelhantes.[5]
No modelo de meio plano de Poincaré do plano hiperbólico, um arbelos modela um triângulo ideal .
Etimologia
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O nome arbelos vem do grego ἡ ἄρβηλος he árbēlos ou ἄρβυλος árbylos, que significa "faca de sapateiro", uma faca usada por sapateiros desde a antiguidade até os dias atuais, cuja lâmina se diz assemelhar-se à figura geométrica.
Ver também
editar- Quádruplos de Arquimedes
- Círculo de bancarrota
- Círculos de Schoch
- Linha Schoch
- Círculos Woo
- Cadeia de Papo
- Salinon
Referências
editar- ↑ Weisstein, Eric W. «Arbelos». MathWorld (em inglês)
- ↑ Thomas Little Heath (1897), The Works of Archimedes.
- ↑ Nelsen, R B (2002). «Proof without words: The area of an arbelos». Math. Mag. 75 (2): 144. JSTOR 3219152. doi:10.2307/3219152
- ↑ Boas, Harold P. (2006). «Reflections on the Arbelos». The American Mathematical Monthly. 113 (3): 236–249. JSTOR 27641891. doi:10.2307/27641891
- ↑ Antonio M. Oller-Marcen: "The f-belos".
Bibliografia
editar- Johnson, R. A. (1960). Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle reprint of 1929 edition by Houghton Mifflin ed. New York: Dover Publications. pp. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0
- Ogilvy, C. S. (1990). Excursions in Geometry. [S.l.]: Dover. pp. 51–54. ISBN 0-486-26530-7
- Sondow, J. (2013). «The parbelos, a parabolic analog of the arbelos». Amer. Math. Monthly. 120 (10): 929–935. arXiv:1210.2279
. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.10.929 American Mathematical Monthly, 120 (2013), 929-935. - Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry
. New York: Penguin Books. pp. 5–6. ISBN 0-14-011813-6
