Axioma do conjunto vazio

Em teoria axiomática dos conjuntos, o axioma do conjunto vazio é um postulado lógico para garantir, formalmente, a existência de um conjunto sem elementos. O axioma possui, usando-se a linguagem da lógica formal, o seguinte enunciado:

$\exists x\,\forall y\,\lnot (y\in x).$

Em palavras,

Existe um conjunto sem elemento algum.

Em algumas formulações da axiomática de Zermelo-Fraenkel, o axioma do conjunto vazio vem incluso no axioma do infinito; em outras não. Contudo, em qualquer modelo axiomático da teoria dos conjuntos que admita a existência de um conjunto e possua o axioma-esquema da separação, como Zermelo-Fraenkel, o axioma do conjunto vazio é derivado como teorema. Realmente, escolhe-se um predicado contraditório e aplica-se o axioma-esquema da separação para tal predicado. Por exemplo, se $x$ é um conjunto, escolhendo $\varphi (y):y\neq y$ temos que $\{y\in x:\varphi (y)\}=\{y\in x:y\neq y\}$ é um conjunto vazio.

Numa teoria axiomática de conjuntos em que o axioma-esquema da separação não é assumido, é preciso prová-lo como teorema usando o axioma-esquema da substituição; e, dependendo de como se formula o axioma-esquema da substituição, pode ser necessário assumir o axioma do conjunto vazio.

Referências

• Burgess, John P (2005). Fixing Frege (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 0-691-12231-8 
• Coniglio, Marcelo Esteban. Teoria Axiomática de Conjuntos: Uma Introdução (PDF). Campinas: Departamento de Filosofia da UNICAMP 
• Enderton, Herbert B (1977). Elements of Set Theory. San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-238440-0 
• Jech, Thomas J (2003). Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 3-540-44085-2 
• Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs (em inglês). [S.l.]: North-Holland. ISBN 0-444-86839-9 

Ligações externas

• Axiom of Existence em ProofWiki (em inglês)
• Theorem axnul 3699 em Metamath Proof Explorer (em inglês)