Caminhada quântica em tempo contínuo

Uma caminhada quântica em tempo contínuo ou CTQW (em inglês "Continuous-time quantum walk"), é uma caminhada em um determinado grafo conectado que é ditada por uma matriz unitária variando no tempo que se baseia no Hamiltoniano do sistema quântico e na matriz de adjacência.

Definição matemática

Uma caminhada quântica contínua (CTQW) em um grafo G = (V,E), onde V é o conjunto de vértices (nós) e E é o conjunto de arestas que conectam os nós, é definido da seguinte maneira:

• Deixe que A seja a matriz de adjacência |V| $\times$ |V| de G com elementos

$A_{u,v}=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{se }}{\textrm {\{u,v\}}}{\text{ }}\epsilon {\text{ }}E\\0&{\text{caso contrário}}\end{matrix}}\right.$

e D ser a matriz de grau |V| $\times$ |V| de G (para o qual a entrada diagonal correspondente ao vértice v é grau (v)), e deixe L = D - A, ser a matriz laplaciana correspondente que é semidefinida positiva. A caminhada quântica em tempo contínuo no gráfico G é então definida pela matriz unitária

$\,U(t)=e^{-itL}$

onde $i$ é a unidade imaginária e a matriz $t\in \mathbb {R}$. A probabilidade de uma caminhada a partir do vértice $u$ terminando no vértice $v$ no tempo $t$ é dado por $\left|\langle v|U(t)|u\rangle \right|^{2}$.Consequentemente, a partir do estado quântico $|\psi _{0}\rangle$ e realizando uma caminhada quântica para o tempo $t$ resultará no novo estado $|\psi _{t}\rangle =U(t)|\psi _{0}\rangle$ e medição irá assim localizar a caminhada no vértice $v$ com a probabilidade $\left|\langle v|U(t)|\psi _{0}\rangle \right|^{2}$.