Em cálculo de várias variáveis, um campo vetorial conservativo é um campo vetorial que é o gradiente de um campo escalar. Campos conservativos têm a propriedade de sua integral de linha apresentar independência de caminho, ou seja, a escolha de qualquer caminho entre dois pontos não altera o valor de sua integral de linha. Exemplos de campos conservativos são a gravidade e um campo elétrico fora da ação de campos magnéticos. Esse artigo descreve o caso matematicamente mais simples de campos vetoriais conservativos do e a importância do potencial na descrição de sistemas físicos.
Campos vetoriais conservativos aparecem naturalmente na mecânica: são campos vetoriais que representam as forças de sistemas físicos onde a energia é conservada. Nesses sistemas, o trabalho realizado para mover uma partícula no espaço depende apenas dos pontos final e inicial. Em outras palavras, é possível definir uma energia potencial que seja independente do caminho utilizado.
Um campo vetorial é chamado de campo vetorial conservativo se e somente se existe uma função escalar , chamada de potencial, de tal forma que o gradiente de seja (). Isso implica que qualquer campo gradiente, da forma , é um campo conservativo.
(Teorema Fundamental do Cálculo)
Analogamente:
onde
e, usando que, para campos conservativos
temos que
Logo:
E
Agora, olhando para
Analogamente a
Então, se
e [1]
Se é uma função explícita de x,y,z então
F(x,y,z) = i+ j + k.
Se é uma função implícita de x,y,z através de r = , isto é, (r) = (r(x,y,z)) então é necessário usar a regra da cadeia para calcular o gradiente do potencial . Potenciais desta forma são ditos potenciais centrais.[2]
Pode-se mostrar facilmente que, para qualquer campo conservativo:
isto é, todo campo vetorial conservativo é irrotacional. Na linguagem de formas diferenciais isso é uma consequência da nilpotência da derivada exterior nos mostra que toda forma exata é fechada.
A recíproca desse teorema sempre vale localmente, como provado pelo Lema de Poincaré, mas globalmente depende do primeiro grupo de cohomologia de de Rham:
.
No caso considerado aqui, e toda forma fechada é exata ou, todo campo vetorial irrotacional é conservativo. Numa região de que não seja simplesmente conexa, isto é, que não seja homotopicamente equivalente ao todo , isso não é mais verdade. Um caso interessante é a corda de Dirac que está relacionada ao conceito de monopolo magnético e quantização de carga elétrica.
Seja um campo vetorial conservativo, ou seja , , definido em uma região R do espaço e uma curva C, dada por , contínua por partes em R, com início em e extremidade em , então:
Sempre que o campo for conservativo, o Trabalho será dado pela diferença de potencial, ou seja , o trabalho é independente do caminho realizado e dependerá apenas dos pontos inicial e final que unem a curva C.
Caso a curva C seja uma curva fechada, o ponto inicial coincide com o ponto final e o trabalho será nulo.
Usando o teorema de Stokes, pode-se ver que a integral de linha de um campo conservativo não depende do caminho entre os pontos inicial e final. Mais especificamente, conclui-se que:
onde é a energia cinética e é a energia total, que a igualdade acima mostra ser constante.
O conceito de independência de caminho mostra que o trabalho realizado por uma força conservativa em qualquer circuito fechado é sempre igual a zero e que num caminho qualquer só depende dos pontos inicial e final:
As equações de Maxwell, especificamente , mostram que o campo eletroestático é irrotacional e então, nas condições descritas acima, é um campo conservativo, ou seja, . As curvas de nível do potencial elétrico são chamadas de curvas equipotenciais. Em particular, a força elétrica é uma força conservativa.
A relatividade restrita nos mostra que, mesmo abandonando a hipótese de campos estáticos, os campos elétricos e magnéticos podem ser descritos como uma forma fechada. Mas localmente não como a derivada de uma 0-forma e sim de uma 1-forma do espaço de Minkowski. Efeitos como o efeito Aharanov-Bohm mostram que o conceito de potencial é fisicamente mais fundamental que o da sua derivada (neste caso, o campo eletromagnético; para o caso de forças, veja abaixo).
Em mecânica quântica, o conceito de força é abandonado em detrimento do conceito de potencial. Nesse sentido, o potencial passa a ter um papel mais fundamental que a força e todas as interações são consideradas conservativas. Interações dissipativas passam a ser descritas através de sistemas quânticos abertos. A função de onda é calculada através da equação de Schrödinger
A função de onda para os dois casos de forças potenciais vistas acima são as famosas soluções do átomo de hidrogênio e do oscilador harmônico.
Lima, E.L.; (2005). Curso de Análise, vol 2. segunda ed. [S.l.]: IMPA. ISBN85-244-0049-8 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
Nakahara, M.; (2003). Geometry, Topology and Physics. segunda ed. [S.l.]: Taylor & Francis. ISBN978-0750306065 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
Frankel, T.; (2003). The Geometry of Physics: An Introduction. segunda ed. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN978-0521539272 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
Strauch, Irene Strauch (2008). Análise Vetorial em dez aulas. Porto Alegre: Departamento De Matemática Pura e Aplicada - UFRGS