Característica de Euler

Em matemática, e mais especificamente na topologia algébrica , a característica de Euler (ou característica de Euler–Poincaré) é um invariante topológico, um número que descreve a forma ou a estrutura de um espaço topológico independentemente da forma como ela é dobrada. Este invariante foi descoberto por Leonhard Euler e demonstrada em geral por Henri Poincaré e costuma ser denotado por $\chi$ (a letra grega Chi).

A característica de Euler foi definida originalmente para poliedros, tendo sido utilizada para demonstrar vários teoremas sobre eles, incluindo a classificação dos sólidos platônicos. Leonhard Euler, matemático cujo nome é atribuído ao conceito, foi responsável por grande parte deste trabalho inicial. Na matemática moderna, a característica de Euler surge a partir da homologia e está relacionada a vários outros invariantes.

Definição

A característica de Euler de um complexo simplicial $M\,$ é dada por

$\chi (M)=n_{0}-n_{1}+n_{2}-n_{3}+\cdots$

onde $n_{k}\,$ é o número de células de dimensão $k\,$.

Característica de Euler de superfícies

A característica de Euler de um cubo (topologicamente uma esfera) é 6-12+8=2.

A característica de Euler de uma superfície $S\,$ é dada por $\chi (S)=V-A+F\,$, onde $V,A\,$ e $F\,$ são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de $S\,$. Em particular a característica de Euler:

• da esfera é $\chi (\mathbb {S} ^{2})=2$
• do plano projectivo é $\chi (\mathbb {P} ^{2})=1$
• do disco é $\chi (\mathbb {D} ^{2})=1$
• do toro é $\chi (\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1})=0$
• do anel é $\chi (\mathbb {S} ^{1}\times I)=0$
• da garrafa de Klein é $\chi (\mathbb {K} )=0$
• da fita de Möbius é $\chi (\mathbb {M} )=0$

e em geral $\chi (S)=2-2g\,$, onde $g\,$ é o género de $S\,$, quando orientável e compacta.

Exemplos de poliedros convexos

A fórmula de Euler para poliedros convexos é V + F = A + 2, e a característica de Euler generaliza esta expressão para qualquer número de dimensões e para polítopos que não são, topologicamente, equivalentes à esfera (ou hiperesfera).

Name	Image	Vértices V	Arestas A	Faces F	Característica de Euler: V − A + F
Tetraedro		4	6	4	2
Hexaedro ou cubo		8	12	6	2
Octaedro		6	12	8	2
Dodecaedro		20	30	12	2
Icosaedro		12	30	20	2

Característica de Euler de variedades de dimensão ímpar

Pela dualidade de Poincaré, a característica de Euler de uma variedade fechada e compacta de dimensão ímpar é nula.