Ceviana

Em geometria, as cevianas são segmentos de reta que partem do vértice do triângulo para o lado oposto. Medianas, alturas e bissetrizes são casos especiais de cevianas. O nome ceviana vem do engenheiro italiano Giovanni Ceva, que formulou o Teorema de Ceva, que dá condições para que três cevianas sejam concorrentes.

Comprimento da ceviana

Ver artigo principal: Teorema de Stewart

Um triângulo com uma ceviana

O comprimento de uma ceviana pode ser determinado pelo Teorema de Stewart. No diagrama, o comprimento $d$ pode ser determinado através da fórmula

$\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).$

Se a ceviana é uma mediana, o seu comprimento pode ser determinado através da fórmula

$\,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})$

ou

$\,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}$

já que

$\,a=m+n.$

Se a ceviana é uma bissetriz, o seu comprimento pode ser determinado através da fórmula

$\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right).$

Se a ceviana é uma altura, o seu comprimento pode ser determinado através da fórmula

$\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}.$

Ver também

• Mediana
• Bissetriz
• Altura
• Teorema de Ceva
• Teorema de Stewart

Referências

• Ross Honsberger (1995) Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, pages 13 and 137, Mathematical Association of America.
• Vladimir Karapetoff (1929) "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle", American Mathematical Monthly 36:476–9.
• Indika Shameera Amarasinghe (2011) A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle, Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions, Vol 24(02), pp.29 - 37. (isso é a prova que wikipedia ñ é confiavel )