Comutatividade

Comutatividade é uma propriedade de operações binárias, ou de ordem mais alta, em que a ordem dos operandos não altera o resultado final.

Por mais que a noção comum de aritmética possam sugerir que esta propriedade seja óbvia, ela é importante para organizar os tipos de operações de grupos de acordo a propriedade de comutatividade ou não. E mesmo na aritmética existem exemplos de operações que não são comutativas, como a subtração e a divisão.

Definição

Dado um conjunto qualquer S e um operação binária f, dizemos que f é comutativa se:

f(x,y)=f(y,x)\ \forall \ x,y\in S

A notação matemática mais comum para operações binárias é através de um símbolo gráfico entre os dois operandos, por exemplo, escreve-se:

f(x,y)=x\ \diamondsuit \ y\,

Usando esta notação, a definição de comutatividade fica:

x\ \diamondsuit \ y=y\ \diamondsuit \ x\ \forall \ x,y\in S\,

Exemplos

Os exemplos mais comuns são:

A adição de números naturais, racionais, reais e complexos;
A multiplicação de números naturais, racionais, reais e complexos;
Grupos abelianos, são grupos no qual a operação é comutativa;
As funções (que podem ter mais de um argumento) mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum, para números inteiros positivos, são comutativas: mdc (42, 626, 452) = mdc (452, 42, 626), etc.

Na multiplicação, a propriedade comutativa troca os números, mas independentemente da troca, o resultado fica igual.

Ver também

Referências

Weisstein, Eric W. «Commutative». MathWorld (em inglês)