Conjunto imagem

Em matemática, o conjunto imagem ou campo de valores de uma função $f:X\to Y$ é o conjunto de todos os elementos de $Y$ que são imagem de algum elemento de X.^[1] Costuma ser representado por $\operatorname {I} (f)$ ou $\operatorname {Im} (f).$ Por definição, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio: $\operatorname {I} (f)\subseteq Y.$

A imagem do conjunto X é o conjunto {A,B,D} que é subconjunto de Y.

Função sobrejetora: Neste caso, a imagem do conjunto X é o conjunto Y, porque todos seus valores estão associados a algum elemento do conjunto X.

A imagem de um dado elemento $x$ do domínio é o único $y$ do contradomínio associado a ele pela função $f.$ É representada por $f(x).$ Portanto, temos: $\operatorname {I} (f)=\{\,y\in Y\,|\,y=f(x){\text{ para algum }}x\in X\,\}.$ Uma função $f:X\to Y$ , cujo contradomínio é dado por Y e $\operatorname {I} {(f)}=Y$ , isto é, quando o conjunto imagem tem os mesmos elementos do contradomínio, é chamada de sobrejetora. Uma função $f:X\to Y$ , cujo contradomínio é dado por Y e $\operatorname {I} {(f(x_{1}))}\neq \operatorname {I} {(f(x_{2}))}\implies x_{1}\neq x_{2}$ , isto é, quando a imagem de $x_{1}$ é diferente da imagem de $x_{2}$ e que $x_{1}$ é diferente de $x_{2}$ , é chamada de injetora. Se uma função é injetora e $\operatorname {I} {(f(x_{1}))}=\operatorname {I} {(f(x_{2}))}$ , então $x_{1}=x_{2}$ . É bijetora, isto é, sobrejetora e injetora, uma vez que $\operatorname {I} {(f)}=\{\ y\in Y\ |\ \exists !x\in X,f(x)=y\}=Y$ .

Exemplo

Seja a função $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,$ definida por $g(x)=x^{2}.$ A imagem de 2 pela função $g$ é $g(2)=2^{2}=4.$ De maneira análoga, diz-se que as imagens de 6, -6 e 7 pela função $g$ são 36, 36 e 49, respectivamente, o que pode ser representado matematicamente por $g(6)=36,$ $g(-6)=36$ e $g(7)=49.$ O conjunto imagem de $g$ é o conjunto de todos os valores assumidos por $g(x),$ para todo $x\in \mathbb {R} .$ Portanto, $I(g)=\mathbb {R} _{+}.$