Corpo (matemática)

Em matemática, um corpo é um anel comutativo com unidade em que todo elemento diferente de 0 possui um elemento inverso com relação à multiplicação.

Definição formal

Mais formalmente, um anel comutativo $F$ com unidade é chamado de corpo se:

$(\forall x\in F\setminus \{0\})(\exists y\in F):x.y=1.$

Resulta da comutatividade de $F$ que o $y$ da definição anterior também satisfaz a condição $y.x=1.$ Por outro lado, só pode haver um único $y$ naquelas condições. De facto, se $y$ e $y'$ forem tais que $x.y=x.y'=1,$ então

$y=y.1=y.(x.y')=(y.x).y'=1.y'=y'.$

Este elemento $y$ designa-se por inverso de $x$ e representa-se por $x^{-1}.$

Um corpo $F$ não tem divisores de zero. Efectivamente, se $x$ e $y$ forem dois elementos de $F$ diferentes de $0$ então $x.y$ ≠ $0,$ pois

$x^{-1}.(x.y)=(x^{-1}.x).y=1.y=y$ ≠ 0.

Mas se se tivesse $x.y=0,$ então ter-se-ia $x^{-1}.(x.y)=0.$

Exemplos e contra-exemplos de Corpos

Exemplos

• Os números complexos $\mathbb {C}$ e seus subcorpos, entre os quais:
  • o corpo dos números racionais $\mathbb {Q} ;$
  • o corpo dos números algébricos;
  • o corpo dos números reais $\mathbb {R} .$
• $\mathbb {Z} _{2},$ o menor corpo, formado pelos números $1$ e $0,$ em que $1+1=0.$ Este conjunto com as operações de adição e multiplicação satisfaz todos os axiomas de anel, é comutativo e tem unidade. Além disso, como em qualquer anel com unidade, $1$ é o elemento inverso de $1.$
• $\mathbb {Z} _{p},$ onde p é um número primo. Como conjunto,

$\mathbb {Z} _{p}=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}$

A adição e a multiplicação são assim definidas: se se quer adicionar (respectivamente multiplicar) em $\mathbb {Z} _{p},$ então $a+b$ (respectivamente $a.b$) é o resto da divisão por $p$ da adição (respectivamente multiplicação) dos números inteiros $a$ e $b.$

• os números hiperreais, uma extensão de $\mathbb {R}$ que inclui infinitesimais.
• os números surreais

< H : ${a+b{\sqrt {2}}},+,\cdot$ >

Contra-exemplos

• $\mathbb {Z} _{n},$ quando $n$ não é um número primo, não é um corpo, pois tem divisores de zero.
• Os quaterniões não formam um corpo, porque a multiplicação não é comutativa.

Característica

Dado um corpo $F,$ considere-se a sucessão $1,$ $1+1,$ $1+1+1,$ … Há duas possibilidades.

• Todos os termos da sucessão são diferentes de $0.$ Diz-se então que o corpo $F$ tem característica $0.$
• Alguns termos da sucessão são iguais a $0.$ Diz-se então que o corpo $F$ tem característica $p,$ onde $p$ é o menor número natural tal que $1+1+$ ··· $+1$ ($p$ vezes) = 0.

O corpo dos números complexos e os seus subcorpos têm característica $0;$ para cada número primo $p,$ o corpo Z_p tem característica $p.$

Se um corpo tem característica $p>0,$ então $p$ é um número primo. De facto, a função

${\begin{array}{rccc}f\colon &\mathbb {N} &\longrightarrow &F\\&n&\mapsto &{\stackrel {n{\text{vezes}}}{\overbrace {1+1+\cdots +1} }}\end{array}}$

é tal que se $m$ e $n$ são números naturais, então $f(m.n)=f(m).f(n).$ Por outro lado, se $F$ tiver característica $p,$ então $f(p)=0.$ Se $p$ não fosse primo, tinha-se $p=m.n,$ com $m$ e $n$ números naturais menores do que $p,$ pelo que $0=f(p)=f(m.n)=f(m).f(n).$ Mas então $f(m)=0$ ou $f(n)=0.$ Isto é impossível pois, por definição, $p$ é o menor número natural tal que $f(p)=0.$

Se um corpo F tem característica p (em que p é zero ou um número primo), então existe um subcorpo $K\subseteq F$ e um isomorfismo de corpos $\phi :\mathbb {Q} \to K$ (p = 0) ou $\phi :\mathbb {Z} _{p}\to K$ (p primo). Além disso, o subcorpo K e o isomorfismo φ são únicos.

Corpos de fracções

Ver artigo principal: Corpo de frações

Seja $S$ um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Então é possível mergulhar $S$ num corpo $F.$ Basta definir em $S$ × $(S$ \ $\{0\})$ a seguinte relação de equivalência ∼:

$(a,r)$ ∼ $(b,s)$ se e só se $a.s=b.r.$

Se $(a,r)$ for um elemento de $S$ × $(S$ \ $\{0\}),$ seja $[(a,r)]$ a sua classe de equivalência. Seja $F$ o conjunto das classes de equivalência. Podem-se então definir os seguintes elementos de $F$ e as seguintes operações:

• $0=[(0,1)];$
• $1=[(1,1)];$
• $[(a,r)]+[(b,s)]=[(a.s+b.r,r.s)];$
• $[(a,r)].[(b,s)]=[(a.b,r.s)].$

Então $F$ é um corpo e a função

${\begin{array}{ccc}S&\longrightarrow &F\\a&\mapsto &[(a,1)]\end{array}}$

é uma função injectiva de $S$ em $F.$ O corpo $F$ designa-se por corpo de fracções do anel $S.$

Exemplos:

• O corpo dos números racionais é o corpo de frações do anel dos números inteiros.
• Seja $A$ um aberto conexo não vazio de C. As funções holomorfas de $A$ em C formam um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. O seu corpo de fracções é o corpo das funções meromorfas de $A$ em C.

Ver também

• Teoria dos corpos
• Corpo topológico, em que a estrutura de espaço topológico deve ser tal que garanta a continuidade de várias operações do corpo
• Corpo ordenado, em que existe uma relação de ordem total compatível com as operações de corpo

Bibliografia

• Jacobson, Nathan (1985). Basic algebra (em inglês). 1. New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0716714809