Desigualdade de Boole

Em teoria da probabilidade, a desigualdade de Boole diz que, para qualquer conjunto de eventos finito ou contável, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos aconteça não é maior que a soma das probabilidades dos eventos individuais. A desigualdade de Boole é nomeada em homenagem a George Boole.

Formalmente, para um conjunto contável de eventos de $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$, temos

${\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i}A_{i}{\biggr )}\leq \sum _{i}{\mathbb {P} }(A_{i}).$

Em termos de teoria da medida, a desigualdade de Boole segue do fato de que uma medida (e, certamente, qualquer medida de probabilidade) é $\sigma$-sub-aditivo.

Prova

Prova usando indução

A desigualdade de Boole pode ser provada para conjuntos de eventos finitos, utilizando o método de indução.

Para o caso $n=1$, segue-se que

$\mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1})$.

Para o caso $n$, tem-se que

${\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i})$.

Como $\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)$, e porque a operação de união é associativa, tem-se que

${\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}{\biggr )}={\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}+\mathbb {P} (A_{n+1})-{\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}{\biggr )}$.

Como

${\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}{\biggr )}\geq 0$,

pelo primeiro axioma de probabilidade, tem-se que

${\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}{\biggr )}\leq {\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}+\mathbb {P} (A_{n+1})$,

e, portanto,

${\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}{\biggr )}\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}{\mathbb {P} }(A_{i})$.

Prova sem o uso de indução

Para quaisquer eventos $A_{1}...A_{i}$ em um espaço de probabilidade, tem-se que

$\mathbb {P} (\bigcup _{i}A_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})$

Um dos axiomas de um espaço de probabilidade é que, se $B_{1}...B_{i}$ são subconjuntos disjuntos do espaço de probabilidade, então

$\mathbb {P} (\bigcup _{i}B_{i})=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})$

o que é chamado de aditividade contável.

Se $B\subset A$ então $\mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A)$

De fato, a partir dos axiomas de uma distribuição de probabilidade,

$\mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (A-B)$

Observando-se que ambos os termos à direita são não-negativos.

Então é preciso modificar os conjuntos de $A_{i}$ para que eles se torne disjuntos.

$B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}$

Se $B_{i}\subset A_{i}$, então sabe-se que

$\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$

Portanto, pode-se fazer a seguinte equação:

$\mathbb {P} (\bigcup _{i}A_{i})=\mathbb {P} (\bigcup _{i}B_{i})=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})$

Desigualdades de Bonferroni

A desigualdade de Boole pode ser generalizada para encontrar limitantes superiores e inferiores sobre a probabilidade de uniões finitas de eventos. Estes limites são conhecidos como desigualdades de Bonferroni, em homenagem à Carlo Emilio Bonferroni.

Definindo

$S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),$

e

$S_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i}\cap A_{j}),$

bem como

$S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})$

para todos os números inteiros de $k$ em $\{3,\dots ,n\}$.

Então, para $k$ ímpares em $\{1,\dots ,n\}$,

${\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j}$,

e para $k$ pares em $\{2,\dots ,n\}$,

${\mathbb {P} }{\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j}$.

A desigualdade de Boole é recuperada definindo $k=1$. Quando $k=n$, então a igualdade se mantém e a identidade resultante é o princípio da inclusão–exclusão.

Veja também

• Conjuntos
• Evento
• Princípio da inclusão–exclusão diluído
• Teoria dos conjuntos
• George Boole

Bibliografia

• Bonferroni, Carlo E. (1936), «Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità», Pubbl. d. R. Ist. Super. di Sci. Econom. e Commerciali di Firenze (em italiano), 8: 1–62, Zbl 0016.41103 
• Dohmen, Klaus (2003), Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion–Exclusion Type, ISBN 3-540-20025-8, Lecture Notes in Mathematics, 1826, Berlin: Springer-Verlag, pp. viii+113, MR 2019293, Zbl 1026.05009 
• Galambos, János; Simonelli, Italo (1996), Bonferroni-Type Inequalities with Applications, ISBN 0-387-94776-0, Probability and Its Applications, New York: Springer-Verlag, pp. x+269, MR 1402242, Zbl 0869.60014 
• Galambos, János (1977), «Bonferroni inequalities», Annals of Probability, 5 (4): 577–581, JSTOR 2243081, MR 0448478, Zbl 0369.60018, doi:10.1214/aop/1176995765 
• Galambos, János (2001), «Bonferroni inequalities», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 

Este artigo incorpora material de Bonferroni inequalities do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.