Em teoria da medida e integraçao, a Desigualdade de Minkowski permite definir uma estrutura de espaço vetorial normado em Lp .
Seja
um espaço normado,
e
e
elementos de
. Então
é um elemento de
, e temos a Desigualdade de Minkowski:
![{\displaystyle \left\|f+g\right\|_{p}\leq \left\|f\right\|_{p}+\left\|g\right\|_{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219bbe9e99563b9bb3c3fbd36d114acdf30c23a4)
A igualdade irá acontecer somente no caso de
e
serem linearmente dependentes.
A Desigualdade de Minkowski é o análogo de uma desigualdade triangular em
.
Assim como a Desigualdade de Hölder, a desigualdade de Minkowski pode ser estabelecida para sequências e vetores usando a Norma
:
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fce76da4c7db5e0eb16f23e4c3c7ff291499b38)
onde
são números reais (ou números complexos) e
é a cardinalidade de
.
Dado , tome tal que .
Por definição temos que
-
Pela desigualdade triangular podemos afirmar que
-
Pela Desigualdade de Hölder temos que
-
Mas, por definição da norma,
-
uma vez que e .
Daí concluímos que
-
Obtemos, então, a desigualdade de Minkowski dividindo ambos os lados por
.
. .
- G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities , Cambridge Univ. Press (1934) ISBN 0-521-35880-9
- H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)