Distribuição de probabilidade condicional

Na teoria da probabilidade e estatística, dadas duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ distribuídas conjuntamente, a distribuição de probabilidade condicional de $Y$ dado $X$ é a distribuição de probabilidade de $Y$ quando $X$ é um determinado valor conhecido. Em alguns casos, as probabilidades condicionais podem ser expressas como funções contendo um valor não especificado $x$ de $X$ como um parâmetro. No caso em que ambos $X$ e $Y$ são variáveis categóricas, uma tabela de probabilidade condicional é normalmente usada para representar a probabilidade condicional. A distribuição condicional contrasta com a distribuição marginal de uma variável aleatória, que é a distribuição sem referência para o valor da outra variável.

Se a distribuição condicional de $Y$ dado $X$ é uma distribuição contínua, então a sua função densidade de probabilidade é conhecida como a função densidade condicional. As propriedades de uma distribuição condicional, tal como o momento, são muitas vezes chamadas por nomes correspondentes, tais como média condicional e variância condicional.

Geralmente, pode-se referir a distribuição condicional de um subconjunto de um conjunto de mais de duas variáveis; esta distribuição condicional é contingente sobre os valores de todas as variáveis restantes, e se mais do que uma variável é incluída no subconjunto então esta distribuição condicional é a distribuição conjunta condicional das variáveis.

Distribuições discretas

Para variáveis aleatórias discretas, a função massa de probabilidade condicional de $Y$ dada a ocorrência do valor $x$ de $X$ pode ser escrita de acordo com a sua definição como:

$p_{Y}(y\mid X=x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x\ \cap Y=y)}{P(X=x)}}$ .

Devido à ocorrência de $P(X=x)$ em um denominador, isto é definido apenas para não-nulos (portanto, estritamente positivos) $P(X=x)$ .^[1]

A relação com a distribuição de probabilidade de $X$ dado $Y$ é:

$P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(X=x\ \cap Y=y)=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y)$ .

Distribuições contínuas

Da mesma forma, para variáveis aleatórias contínuas, a função de densidade de probabilidade condicional de $Y$ dada a ocorrência do valor $x$ de $X$ pode ser escrita como

f_{Y}(y\mid X=x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}

,

onde $f_{X,Y}(x,y)$ dá a densidade conjunta de $X$ e $Y$ , enquanto que $f_{X}(x)$ dá a densidade marginal de $X$ . Também neste caso é necessário que $f_{X}(x)>0$ .

A relação com a distribuição de probabilidade de $X$ dado $Y$ é dada por:

f_{Y}(y\mid X=x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x\mid Y=y)f_{Y}(y)

.^[2]

O conceito de uma distribuição condicional de uma variável aleatória contínua não é tão intuitivo quanto parece: o paradoxo de Borel mostra que funções densidade de probabilidade condicionais não precisam ser invariantes sob transformações de coordenadas.

Relação com a independência

As variáveis aleatórias $X$ , $Y$ são independentes se e somente se a distribuição condicional de $Y$ dado $X$ é, para todos os valores possíveis de $X$ , igual à distribuição não condicional de $Y$ . Para variáveis aleatórias discretas isto significa que $P(Y=y|X=x)=P(Y=y)$ para todos os $x$ e $y$ . Para variáveis aleatórias contínuas $X$ e $Y$ , tendo uma função de densidade conjunta, isso significa que $f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)$ para todos os $x$ e $y$ .

Propriedades

Visto como uma função de $y$ para um dado $x$ , $P(Y=y|X=x)$ é uma probabilidade e, portanto, a soma de todos os $y$ (ou a integral, se é uma densidade de probabilidade condicional) é igual a 1. Visto como uma função de $x$ dado $y$ é uma função de verossimilhança, de modo que a soma de todos os $x$ não precisa ser 1.

Formulação teórica

Seja $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ um espaço de probabilidade, ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ um campo- $\sigma$ em ${\mathcal {F}}$ , e $X:\Omega \to \mathbb {R}$ uma variável aleatória de valor real (mensurável a respeito do campo- $\sigma$ de Borel ${\mathcal {R}}^{1}$ em $\mathbb {R}$ ). Pode se mostrar que existe uma função $\mu :{\mathcal {R}}^{1}\times \Omega \to \mathbb {R}$ tal que $\mu (\cdot ,\omega )$ é a medida de probabilidade em ${\mathcal {R}}^{1}$ para cada $\omega \in \Omega$ (isto é, é regular) e $\mu (H,\cdot )=P(X\in H\mid {\mathcal {G}})$ (quase certamente) para todo $H\in {\mathcal {R}}^{1}$ . Para qualquer $\omega \in \Omega$ , a função $\mu (\cdot ,\omega ):{\mathcal {R}}^{1}\to \mathbb {R}$ é chamada de distribuição de probabilidade condicional de $X$ dado ${\mathcal {G}}$ . Neste caso,

E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )

quase certamente.^[3]

Relação com a expectativa condicional

Para qualquer evento $A\in {\mathcal {A}}\supseteq {\mathcal {B}}$ , definindo a função indicadora:

\mathbf {1} _{A}(\omega )={\begin{cases}1\;&{\text{se }}\omega \in A,\\0\;&{\text{se }}\omega \notin A,\end{cases}}

que é uma variável aleatória. Observe que a expectativa dessa variável aleatória é igual à probabilidade de $A$ em si:

\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\operatorname {P} (A)

.

Então, a probabilidade condicional dado ${\mathcal {B}}$ é uma função $\operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}}):{\mathcal {A}}\times \Omega \to (0,1)$ de tal forma que $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})$ é a expectativa condicional da função indicadora para $A$ :

\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})=\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}\mid {\mathcal {B}})

Em outras palavras, $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})$ é uma função ${\mathcal {B}}$ -mensurável que satisfaz

\int _{B}\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})(\omega )\,\mathrm {d} \operatorname {P} (\omega )=\operatorname {P} (A\cap B)\qquad {\text{para todo}}\quad A\in {\mathcal {A}},B\in {\mathcal {B}}

.

A probabilidade condicional é regular se $\operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}})(\omega )$ é também uma medida da probabilidade para todo $\omega \in \Omega$ . Uma expectativa de uma variável aleatória em relação a uma probabilidade condicional regular é igual a sua expectativa condicional.

Para o sigma-álgebra trivial ${\mathcal {B}}=\{\emptyset ,\Omega \}$ a probabilidade condicional é uma função constante, $\operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)\equiv \operatorname {P} (A)$ .
Para $A\in {\mathcal {B}}$ , como descrito acima, $\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})=1_{A}$ .