Distribuição multinomial

Em probabilidade e estatística, a distribuição multinomial é uma generalização da distribuição binomial para casos onde temos mais de dois possíveis resultados, sendo assim é uma distribuição de probabilidade discreta e multivariada.

Temos um total de $n$ objetos/itens separados independentemente em $k>2$ categorias/tipos, um item é da categoria $j=1,2,...,k$ com probabilidade $p_{j}$ não-nula onde $\sum _{j=1}^{k}p_{j}=1$, além disso dizemos que $X_{j}$ é a quantidade de itens na categoria $j$ onde $\sum _{j=1}^{k}X_{j}=X_{1}+...+X_{k}=n$. Como se trata de um caso multivariado dizemos que o vetor aleatório ${\boldsymbol {X}}:=(X_{1},X_{2},...,X_{k})$ tem distribuição multinomial e denotamos $X\sim Multinomial_{k}(n,{\boldsymbol {p}})$ onde ${\boldsymbol {p}}:=(p_{1},p_{2},...,p_{k})\in \mathbb {R} _{+}^{k}$.

Função massa de probabilidade (conjunta) multinomial:

$P(X_{1}=n_{1},...,X_{k}=n_{k}):={\frac {n!}{n_{1}...n_{k}}}p_{1}^{n_{1}}...p_{k}^{n_{k}}$

Onde as reticências indicam um produtório e $n_{1}+...+n_{k}=n$.