Enstrofia

Em dinâmica de fluidos, a enstrofia ${\mathcal {E}}$ pode ser interpretado como outro tipo de densidade potencial; ou, mais concretamente, a quantidade diretamente relacionada à energia cinética no modelo de fluxo que corresponde aos efeitos de dissipação no fluido. É particularmente útil no estudo de fluxos turbulentos, e é frequentemente identificada no estudo de propulsores, bem como na teoria de combustão e meteorologia.

Dado um domínio $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ e um campo vetorial fracamente diferenciável $u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})^{n}$ que representa um fluxo de fluido, como uma solução para as equações de Navier–Stokes, sua enstrofia é dada por:

${\mathcal {E}}({\bf {u}}):=\int _{\Omega }|\nabla \mathbf {u} |^{2}\,dx$

where $|\nabla \mathbf {u} |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\left|\partial _{i}u^{j}\right|^{2}$. Esta grandeza é igual ao quadrado da seminorma $|\mathbf {u} |_{H^{1}(\Omega )^{n}}^{2}$ da solução no espaço de Sobolev $H^{1}(\Omega )^{n}$.

Fluxo incompressível

No caso em que o fluxo seja incompressível, ou equivalentemente que $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$, a enstrofia pode ser descrita como a integral do quadrado da vorticidade $\mathbf {\omega }$:

${\mathcal {E}}({\boldsymbol {\omega }})\equiv \int _{\Omega }|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\,dx$

ou, em termos da velocidade de fluxo:

${\mathcal {E}}(\mathbf {u} )\equiv \int _{S}|\nabla \times \mathbf {u} |^{2}\,dS$

No contexto das equações incompressíveis de Navier-Stokes, a enstrofia aparece no seguinte resultado útil:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\mathbf {u} |^{2}\right)=-\nu {\mathcal {E}}(\mathbf {u} )$

A quantidade entre parênteses à esquerda é a energia cinética no fluxo, então o resultado diz que a energia diminui proporcionalmente à viscosidade cinemática $\nu$ vezes a enstrofia.

Ver também

• Circulação atmosférica
• Turbulência

Leitura adicional

• Arakawa, A.; Lamb, V.R. (Janeiro de 1981). «A Potential Enstrophy and Energy Conserving Scheme for the Shallow Water Equations». Monthly Weather Review. 109 (1): 18-36. ISSN 1520-0493. doi:10.1175/1520-0493(1981)109<0018:APEAEC>2.0.CO;2 
• Umurhan, O. M.; Regev, O. (Dezembro de 2004). «Hydrodynamic stability of rotationally supported flows: Linear and nonlinear 2D shearing box results». Astronomy and Astrophysics. 427 (3): 855–872. Bibcode:2004A&A...427..855U. arXiv:astro-ph/0404020. doi:10.1051/0004-6361:20040573 
• Weiss, John (March 1991). «The dynamics of enstrophy transfer in two-dimensional hydrodynamics». Physica D: Nonlinear Phenomena. 48 (2–3): 273–294. Bibcode:1991PhyD...48..273W. doi:10.1016/0167-2789(91)90088-Q