Equação diferencial exata

Este artigo trata de equação diferencial ordinária exata no sentido denotativo, para possível sentido conotativo, que pode causar confusão, ver equações diferenciais estocásticas.

Uma Equação diferencial ordinária é dita exata^[1] quando é possível colocá-la na seguinte forma:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

e

{\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}

com $M$ e $N$ funções diferenciáveis e integráveis.

Teorema

O seguinte teorema fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.^[2]

Suponha que as funções $M,N,M_{y}$ e $N_{x}$ , onde os índices denotam derivadas parciais, são contínuas na região conexa $R:\ \ \alpha <x<\beta ,\ \ \lambda <y<\sigma$ .

Então, a equação

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

é uma equação diferencial exata em $R$ se, e só se,

{\frac {\partial M(x,y)}{\partial y}}={\frac {\partial N(x,y)}{\partial x}}

(1)

em cada ponto de R.

Isto é, existe uma função $F(x,y)$ que satisfaz as equações,

{\frac {\partial F(x,y)}{\partial x}}=M(x,y)

{\frac {\partial F(x,y)}{\partial y}}=N(x,y)

se, e só se, $M$ e $N$ satisfazem (1), pois^[2]

${\frac {\partial F(x,y)}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial F(x,y)}{\partial y\partial x}}$

Método de Solução

Uma equação diferencial ordinária do tipo

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

é equivalente a

$M(x,y)+N(x,y)y'=0$ , pois $y'={\frac {dy}{dx}}$

Se ela for uma equação exata, teremos que ${\frac {M}{\partial y}}={\frac {N}{\partial x}}$ .

Então podemos supor que há uma função $F$ de modo que ${\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}=M(x,y)$ .

Assim, para obter essa função basta integrar $M(x,y)$ em relação a $x$ .

$F=\int {M(x,y)dx}+g(y)$ . Note-se que $g(y)$ é a constante de integração, e como não depende de $x$ , ${\frac {d}{dx}}\left(g(y)\right)=0$ .

Agora podemos derivar $F$ na direção de $y$ supondo que ${\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}=N(x,y)$ . Assim, obtemos:

${\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}={\frac {\partial }{\partial {y}}}\int {M(x,y)dx+g'(y)}=N(x,y)$ .

Isolando $g'(y)$ temos:

$g'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\int {M(x,y)dx}$

Então, por fim, integramos $g'(y)$ na direção de $y$ , de modo a obter:

$g(y)=\int \left({N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\int {M(x,y)dx}}\right)dy$

Ou seja

$F=\int {M(x,y)dx}+g(y)=\int {M(x,y)dx}+\int \left({N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial {y}}}\int {M(x,y)dx}}\right)dy$

E, finalmente, a solução da equação diferencial é a função implícita $F(x,y)=c$ ^[1]

Exemplo

Resolvamos a equação Diferencial Ordinária $y'={\frac {dy}{dx}}={\frac {-(2x+y^{2})}{(2x+1)y}}$ .

Temos:

(2x+y^{2})dx+(2xy+y)dy=0

,

onde

M=(2x+y^{2})

e

N=(2xy+y)

.

Logo, ${\frac {\partial M}{\partial y}}=2y={\frac {\partial N}{\partial x}}$ , donde se conclui que é exata.

Pelo corolário acima, ∃F(x,y), então:

{\frac {\partial F}{\partial x}}=M=2x+y^{2}

.

Integrando em relação a x:

F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+f(y)

, em que f(y) é uma função de y.

Além disso, ${\frac {\partial F}{\partial y}}=N=2xy+f'(y)=2xy+y$ . Então $f'(y)=y$ .

Integrando em relação a y, temos: $f(y)={\frac {y^{2}}{2}}+c$ , c constante.

Logo, pelo corolário, a função F é:

F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+{\frac {y^{2}}{2}}+c

A solução da equação diferencial exata é $F(x,y)=0$ ou seja

x^{2}+xy^{2}+{\frac {y^{2}}{2}}+c=0

Exemplo no plano

Considere uma função diferenciável

z=F(x,y);(x,y)\in \Omega \subset {\mathbf {R} }^{2}

da qual pode-se deduzir a expressão diferencial exata

dz={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy

A expressão que deu origem à equação, $z=F(x,y)$ , representa uma superfície de um tipo especial, pois é o gráfico de uma função diferenciável.

Esta superfície, quando cortada pelo plano (de altura) constante $z=C$ equivale a resolver o sistema de equações:

{\begin{array}{ll}z=C\\z=F(x,y)\\\end{array}}

Geometricamente falando, o resultado desta interseção é uma curva no espaço, obtida pela interserção de duas superfícies. Como o plano é paralelo ao plano $XOY$ então há uma projeção desta curva espacial sobre o domínio $\Omega$ de $z=F(x,y)$ que chamamos curva de nível. Observe que se pode representar a interseção escrevendo

F(x,y)=C

Diferenciando esta última equação, obtemos:

{\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy=0

Esta última expressão é a que em geral temos, a equação diferencial exata. Quer dizer, resolver uma equação diferencial exata consiste em recuperar, se for possível, a função cuja diferencial se encontra expressa na equação.

Mas não é nesta forma canônica, das equações diferenciais exatas, uma das razões disso é que ela podem representar formas não exatas. A forma canônica é

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Esta equação é dita exata se existe uma função $w=F(x,y)$ tal que

${\begin{array}{l}P(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}\\Q(x,y)={\frac {\partial F}{\partial y}}\\\end{array}}$

Resolver, então, a equação diferencial exata consiste em descobrir $F$ a partir de suas derivadas parciais.

Referências

↑ ^a ^b E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 51. ISBN 978-85-216-1499-9
↑ ^a ^b E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. ISBN 978-85-216-1499-9

Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers:Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications, 157-160. ISBN 0-486-41147-8

Ver também

[:0-1] E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 51. ISBN 978-85-216-1499-9

[ReferenceA2-2] E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. ISBN 978-85-216-1499-9

[1]

[2]