Espaço Twistor

Em matemática e física teórica (especialmente teoria de twistor), o espaço de twistor é o complexo espaço vetorial de soluções da equação de twistor $\nabla _{A'}^{(A}\Omega _{^{}}^{B)}=0$. Foi descrito na década de 1960 por Roger Penrose e Malcolm MacCallum. De acordo com Andrew Hodges, o espaço de twistor é útil para conceituar a maneira como os fótons viajam através do espaço, usando quatro números complexos. Ele também postula que o espaço de twistor pode ajudar na compreensão da assimetria da força nuclear fraca.

Motivação informal

Nas palavras de Jacques Hadamard: “o caminho mais curto entre duas verdades no domínio real passa pelo domínio complexo”. Portanto, ao estudar o espaço quadridimensional $\mathbb {R} ^{4}$ pode ser valioso identificá-lo com $\mathbb {C} ^{2}.$ No entanto, uma vez que não existe uma maneira canônica de fazer isso, em vez disso, todos os isomorfismos que respeitam a orientação e a métrica entre os dois são considerados. Acontece que aquele complexo tridimensional espaço projetivo $\mathbb {CP} ^{3}$ parametriza tais isomorfismos juntamente com coordenadas complexas. Assim, uma coordenada complexa descreve a identificação e as outras duas descrevem um ponto em $\mathbb {R} ^{4}$. Acontece que os fibrados vetoriais com conexões autoduais ativadas $\mathbb {R} ^{4}$(instantons) correspondem bijetivamente a feixes holomórficos no complexo 3-espaço projetivo $\mathbb {CP} ^{3}.$

Definição formal

Para o espaço de Minkowski, denotado $\mathbb {M}$, as soluções para a equação do twistor são da forma

$\Omega ^{A}(x)=\omega ^{A}-ix^{AA'}\pi _{A'}$

onde $\omega ^{A}$ e $\pi _{A'}$ são dois espinores Weyl constantes e $x^{AA'}=\sigma _{\mu }^{AA'}x^{\mu }$ é um ponto no espaço de Minkowski. Os $\sigma _{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})$ são as matrizes de Pauli, com $A,A^{\prime }=1,2$ the indexes on the matrices. Este espaço de twistor é um espaço vetorial complexo quadridimensional, cujos pontos são denotados por $Z^{\alpha }=(\omega ^{A},\pi _{A'})$, e com uma forma hermitiana.

$\Sigma (Z)=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}$

que é invariante sob o grupo SU (2,2), que é uma cobertura quádrupla do grupo conforme C(1,3) do espaço-tempo compactado de Minkowski.

Os pontos no espaço de Minkowski estão relacionados a subespaços do espaço de twistores por meio da relação de incidência

$\omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.$

Esta relação de incidência é preservada sob um redimensionamento geral do twistor, então geralmente se trabalha no espaço do twistor projetivo, denotado $\mathbb {PT}$, que é isomórfico como uma variedade complexa para $\mathbb {CP} ^{3}$.

Dado um ponto $x\in M$ está relacionado a uma linha no espaço de torção projetiva onde podemos ver a relação de incidência como dando a incorporação linear de um $\mathbb {CP} ^{1}$ parametrizado por $\pi _{A'}$.

A relação geométrica entre o espaço do twistor projetivo e o espaço de Minkowski compactado e complexificado é a mesma que a relação entre linhas e dois planos no espaço de torção; mais precisamente, o espaço do twistor é

$\mathbb {T} :=\mathbb {C} ^{4}.$

Tem associado a ele a dupla fibração de variedades de bandeira $\mathbb {P} \xleftarrow {\mu } \mathbb {F} \xrightarrow {\nu } \mathbb {M}$ where $\mathbb {P}$ is the projective twistor space

$\mathbb {P} =F_{1}(\mathbb {T} )=\mathbb {CP} ^{3}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{4})$

e $\mathbb {M}$ é o espaço de Minkowski compactificado e complexificado

$\mathbb {M} =F_{2}(\mathbb {T} )=\operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {C} ^{4})=\operatorname {Gr} _{2,4}(\mathbb {C} )$

e o espaço de correspondência entre $\mathbb {P}$ e $\mathbb {M}$ é

$\mathbb {F} =F_{1,2}(\mathbb {T} )$

Nas circunstâncias acima, $\mathbf {P}$ significa espaço projetivo, $\operatorname {Gr}$ um Grassmanniano, e $F$ uma variedade de sinalização. A dupla fibração dá origem a duas correspondências (ver também transformada de Penrose), $c=\nu \circ \mu ^{-1}$ e $c^{-1}=\mu \circ \nu ^{-1}.$

O espaço de Minkowski complexificado e compactado $\mathbb {M}$ está embutido em $\mathbf {P} _{5}\cong \mathbf {P} (\wedge ^{2}\mathbb {T} )$ pela incorporação de Plücker; a imagem é a quádrica de Klein.