Espaço métrico

Em matemática, um espaço métrico é um conjunto não-vazio onde as distâncias entre quaisquer de seus elementos é definida. Estas distâncias formam a métrica do conjunto. A partir daí, podemos definir propriedades topológicas como conjuntos abertos e fechados, que levam ao estudo de espaços topológicos mais abstratos.

Um conjunto munido de uma métrica é um espaço métrico; entre as muitas métricas possíveis encontra-se a métrica de Manhattan.

O espaço métrico mais familiar é o espaço euclidiano. Na verdade, a métrica é uma generalização das quatro propriedades conhecidas da distância euclidiana. A métrica euclidiana define a distância entre dois pontos como o comprimento do segmento de reta que os conecta.

Existem outros espaços métricos, por exemplo, na geometria elíptica. Mesmo no espaço euclidiano, podemos adotar uma medida diferente de distância, como a métrica de Manhattan.

Definição

Seja $X$ um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre $X$ é uma função $d:X\times X\to R$ que satisfaz, para todo $x,y,z\in X$, as seguintes propriedades:

1. $d(x,y)=0\iff x=y$;
2. Se $x\neq y$, então, $d(x,y)>0$
3. $d(x,y)=d(y,x)$;
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (essa propriedade é conhecida como desigualdade triangular).

Então o par $(X,d)$ é chamado espaço métrico.

Ignorando o rigor matemático, para qualquer sistema de estradas e terrenos a distância entre duas localidades pode ser definida como o comprimento da rota mais curta que liga esses locais. Para ser uma métrica, não deve haver estradas de mão única. A desigualdade do triângulo expressa o fato de que os desvios não são atalhos. Muitos dos exemplos abaixo podem ser vistos como versões concretas desta ideia geral.

Exemplos de Espaços Métricos

• O conjunto $\mathbb {R}$ dos números reais é o exemplo mais importante de espaço métrico com respeito à métrica $d(x,y)=|x-y|$
• $(\mathbb {R} ^{n},d)$, onde $d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}$, é o espaço de dimensão $n\,$ com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).
• $(\mathbb {R} ^{n},d)$, onde $d(x,y)=\max\{|x_{1}-y_{1}|,...,|x_{n}-y_{n}|\}$ observe que com esse exemplo, olhar para um mesmo conjunto $X$ com métricas diferentes. Isso provoca uma mudança na topologia do conjunto.
• $(X,d)\,$, onde $d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }}x=y\\1,&{\mbox{se }}x\neq y\end{matrix}}\right.$ é denominado de espaço métrico discreto.
• Qualquer subconjunto $A\subset X$de um espaço métrico $X$ é um espaço métrico, basta considerar a restrição $d|_{A\times A}\to \mathbb {R}$.
• Seja V o conjunto das funções contínuas de domínio [a,b] e contra-domínio real. Então $d(f,g)=\max |f(x)-g(x)|\,$ torna V um espaço métrico (a condição de continuidade é importante para garantir que essa métrica seja definida).

Propriedades

Um espaço métrico é topologizável, isto é admite uma estrutura natural de espaço topológico. Usando a notação $B(x,r)\,$ para representar a bola aberta de raio r, $B(x,r)=\{y\ |\ d(x,y)<r\}\,$, podem-se escrever várias formas equivalentes de definir esta topologia:

• Um conjunto A é aberto quando $\forall x\in A\ ,\ \exists \epsilon >0\ ,\ B(x,\epsilon )\subset A\,$.
• A topologia gerada pelas bolas abertas.

Note-se, em particular, que as bolas abertas são conjuntos abertos, e essa topologia é Hausdorff.

Referências

• Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9