Espaço métrico

Em matemática, um espaço métrico é um conjunto onde a distância entre quaisquer dois de seus elementos é definida por uma função chamada métrica. A métrica permite que a noção de continuidade seja estendida para funções entre espaços métricos. Os espaços métricos são exemplos de uma classe mais abrangente de espaços, chamados espaços topológicos.

Um conjunto munido de uma métrica é um espaço métrico; entre as muitas métricas possíveis encontra-se a métrica de Manhattan.

O espaço métrico mais familiar é o espaço euclidiano. Na verdade, a métrica é uma generalização das quatro propriedades conhecidas da distância euclidiana. A métrica euclidiana define a distância entre dois pontos como o comprimento do segmento de reta que os conecta.

Existem outros espaços métricos, por exemplo, na geometria elíptica. Mesmo no espaço euclidiano, podemos adotar uma medida diferente de distância, como a métrica de Manhattan.

Definição

Seja $X$ um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre $X$ é uma função $d:X\times X\to \mathbb {R}$ que associa um par $(x,y)\in X\times X$ ao número $d(x,y)$, chamado de distância entre $x$ e $y$, de modo que para quaisquer $x,y,z\in X$ valem:

1. $d(x,y)=0\iff x=y$;
2. Se $x\neq y$, então, $d(x,y)>0$ (positividade);
3. $d(x,y)=d(y,x)$ (simetria);
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (desigualdade triangular).

Um par $(X,d)$ em que $X$ é um conjunto e $d$ é uma métrica é chamado de espaço métrico.

De forma intuitiva, pode-se pensar no conjunto $X$ como um conjunto de locais ligados por um sistema de estradas. A distância entre dois pontos pode ser definida como o comprimento da rota mais curta que liga dois desses locais. Deste modo, a simetria significa que neste sistema de estradas não deve haver estradas de mão única e a desigualdade do triângulo expressa o fato de que os desvios não são atalhos.

Exemplos de Espaços Métricos

• O conjunto $\mathbb {R}$ dos números reais é o exemplo mais importante de espaço métrico com respeito à métrica $d(x,y)=|x-y|$
• $(\mathbb {R} ^{n},d)$, onde $d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}$, é o espaço de dimensão $n\,$ com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).
• $(\mathbb {R} ^{n},d)$, onde $d(x,y)=\max\{|x_{1}-y_{1}|,...,|x_{n}-y_{n}|\}$ observe que com esse exemplo, olhar para um mesmo conjunto $X$ com métricas diferentes. Isso provoca uma mudança na topologia do conjunto.
• $(X,d)\,$, onde $d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }}x=y\\1,&{\mbox{se }}x\neq y\end{matrix}}\right.$ é denominado de espaço métrico discreto.
• Qualquer subconjunto $A\subset X$de um espaço métrico $X$ é um espaço métrico, basta considerar a restrição $d|_{A\times A}\to \mathbb {R}$.
• Seja V o conjunto das funções contínuas de domínio $[a,b]$ e contradomínio real. Então $d(f,g)=\max |f(x)-g(x)|\,$ torna V um espaço métrico (a condição de continuidade é importante para garantir que essa métrica seja definida).

Topologia de um espaço métrico

Definição. Sejam $(X,d)$ um espaço métrico e $U\subset X$ um subconjunto, diz-se que $U$ é um subconjunto aberto de $X$ quando para todo elemento $x_{0}\in U$ existe algum $\epsilon >0$ tal que $x\in U$ sempre que $d(x,x_{0})<\epsilon$.

Uma classe importante de conjuntos abertos são as chamadas bolas abertas, para um ponto $x_{0}\in X$ e um número real $r>0$, chama-se bola aberta de centro $x_{0}$e raio $r$ o subconjunto $B(x_{0};r)=\{x\in X:d(x,x_{0})<r\}$. Pode-se mostrar que toda bola aberta é um subconjunto aberto e que todo subconjunto aberto pode ser escrito como a reunião de uma família (enumerável ou não) de bolas abertas.

A classe dos conjuntos abertos gozam das seguintes propriedades:

1. O conjunto vazio $\varnothing$ e $X$ são subconjuntos abertos de $X$;
2. Se $\{U_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ é uma família indexada de subconjuntos abertos de $X$, então a reunião $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }U_{\lambda }$ é também um subconjunto aberto de $X$;
3. Se $U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}$são subconjuntos abertos de $X$, então a interseção $\bigcap _{k=1}^{n}U_{k}$ é também um subconjunto aberto de $X$.

As propriedades 1, 2 e 3 acima caracterizam a classe $\tau \subset {\mathcal {P}}(X)$ dos subconjuntos abertos de $X$ como uma topologia, chamada de topologia induzida pela métrica $d$, de modo que o par $(X,\tau )$ é um espaço topológico.

Convergência

Diz-se que sequência $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ com elementos num espaço métrico $(X,d)$ converge para um elemento $x\in X$ se para qualquer $\epsilon >0$ existe um número natural $n_{0}=n_{0}(\epsilon )$ tal que $d(x,x_{n})<\epsilon$ para todo $n\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{0}$. Nessa ocasião, $x$ é o único elemento do espaço métrico com esta propriedade, e é chamado de limite da sequência, e escreve-se $\lim _{n\to +\infty }x_{n}=x$ ou $x_{n}\to x$.

Uma sequência $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ com elementos num espaço métrico $(X,d)$ é de Cauchy ou satisfaz o critério de Cauchy quando para todo $\epsilon >0$ pode-se encontrar um número natural $n_{0}=n_{0}(\epsilon )$ de modo que $d(x_{n},x_{m})<\epsilon$ para quaisquer números naturais $m,n>n_{0}$. Pode se mostrar que toda sequência convergente é de Cauchy, e um espaço métrico em que critério de Cauchy é suficiente para convergência é chamado de espaço métrico completo. Exemplos de espaços métricos completos incluem $\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n}$ e qualquer Espaço vetorial normado de dimensão finita.

Referências

• Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9