Evoluta

Na geometria diferencial de curvas, a evoluta de uma curva é o lugar geométrico de todos suas circunferências osculatrizes (centros de curvatura).^[1]

A evoluta de uma curva (neste caso, uma elipse) é o envelope de suas normais.

A **evoluta** de uma curva (parábola azul) é o lugar geométrico de todos os seus centros de curvatura (vermelho).

Isso significa que, quando o centro de curvatura de cada ponto de uma curva é desenhado, a forma resultante será a evoluta dessa curva. A evoluta de um círculo é, portanto, um único ponto em seu centro.^[2] Equivalente a isso, uma evoluta é o invólucro das normais a uma curva.

A evoluta de uma curva, uma superfície ou, mais geralmente, de uma subvariedade é a cáustica do mapa normal. Seja $M$ uma subvariedade regular e suave em $R n$ . Para cada ponto $p$ em $M$ e cada vetor $v$ , baseado em $p$ e normal a $M$ , associamos o ponto $p + v$ . Isso define um mapa lagrangiano, chamado de mapa normal. A cáustica do mapa normal é a evoluta de $M$ .^[3]

As evolutas estão intimamente ligadas às involutas: uma curva é a evoluta de qualquer uma de suas involutas.

História

Apollonius (Cerca de 200 a.C.) discutiu evolutas no Livro V de sua obra Cônicas. Contudo, Huygens é, por vezes, creditado como o primeiro a estudá-las (1673). Huygens formulou sua teoria das evolutas por volta de 1659 para ajudar a resolver o problema de encontrar a curva tautócrona, o que, por sua vez, o auxiliou na construção de um pêndulo isócrono. Isso ocorreu porque a curva tautócrona é uma cicloide, e a cicloide tem a propriedade única de que sua evoluta também é uma cicloide. A teoria das evolutas, na verdade, permitiu a Huygens alcançar muitos resultados que mais tarde seriam encontrados utilizando cálculo.^[4]

Evoluta de uma curva paramétrica

Se ${\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ é a representação paramétrica de uma curva regular no plano com curvatura diferente de 0 e $\rho (t)$ seu raio de curvatura e ${\vec {n}}(t)$ a unidade normal apontando para o centro de curvatura, então ${\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)$ descreve a evoluta da curva dada.

Para ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{\mathsf {T}}$ e ${\vec {E}}=(X,Y)^{\mathsf {T}}$ , obtém-se $X(t)=x(t)-{\frac {y'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}$ e $Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}.$

Propriedades da evoluta

A normal no ponto P é a tangente no centro de curvatura C.

Para derivar propriedades de uma curva regular, é vantajoso usar o comprimento do arco $s$ como parâmetro da curva dada, por conta de ${\textstyle \left|{\vec {c}}'\right|=1}$ e ${\textstyle {\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho }$ (ver Fórmulas de Frenet–Serret). Assim, o vetor tangente da evoluta ${\textstyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}}$ é: ${\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .$ A partir dessa equação, obtém-se as seguintes propriedades da evoluta:

Em pontos com $\rho '=0$ , a evoluta não é regular. Ou seja: em pontos de curvatura máxima ou mínima (vértices da curva dada), a evoluta possui cúspides. (Ver os diagramas das evolutas da parábola, da elipse, da cicloide e da nefroide.)
Para qualquer arco da evoluta que não inclua uma cúspide, o comprimento do arco é igual à diferença entre os raios de curvatura nos pontos extremos. Esse fato leva a uma prova fácil do teorema de Tait–Kneser sobre aninhamento de círculos osculadores.^[5]
As normais da curva dada em pontos de curvatura diferente de zero são tangentes à evoluta, e as normais da curva em pontos de curvatura zero são assíntotas da evoluta. Portanto: a evoluta é o invólucro das normais da curva dada.
Em trechos da curva com $\rho '>0$ ou $\rho '<0$ , a curva é uma involuta de sua evoluta.

Cicloide (azul), seu círculo osculador (vermelho) e sua evoluta (verde).

A evoluta da nefroide grande (azul) é a nefroide pequena (vermelha).

Evolutas de algumas curvas

A evoluta

de uma parábola é uma parábola semicúbica (ver acima),
de uma elipse é uma asteroide não simétrica (ver acima),
de uma linha é um ponto,
de uma nefroide é uma nefroide (metade do tamanho, veja o diagrama),
de uma astroide é uma astroide (duas vezes maior),
de uma cardioide é uma cardioide (um terço do tamanho),
de um círculo é o seu centro,
de uma deltoide é uma deltoide (três vezes maior),
de uma cicloide é uma cicloide congruente,
de uma espiral logarítmica é a mesma espiral logarítmica,
de uma tractriz é uma catenária.

Curva radial

Uma curva com uma definição semelhante é a radial de uma dada curva. Para cada ponto na curva, tome o vetor do ponto até o centro de curvatura e o traduza para que comece na origem. Em seguida, o lugar geométrico dos pontos no final de tais vetores é chamado de radial da curva. A equação para a radial é obtida removendo-se os termos $x$ e $y$ da equação da evoluta. Isso produz: $(X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right).$

Referências

↑ «Circle Evolute - Wolfram Mathworld». Consultado em 5 de dezembro de 2012
↑ Weisstein, Eric W. «Circle Evolute». MathWorld (em inglês)
↑ Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. (1985). The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1. [S.l.]: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9
↑ Yoder, Joella G. (2004). Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature. [S.l.]: Cambridge University Press
↑ Ghys, Étienne; Tabachnikov, Sergei; Timorin, Vladlen (2013). «Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem». The Mathematical Intelligencer. 35 (1): 61–66. MR 3041992. arXiv:1207.5662 . doi:10.1007/s00283-012-9336-6

[1] «Circle Evolute - Wolfram Mathworld». Consultado em 5 de dezembro de 2012

[2] Weisstein, Eric W. «Circle Evolute». MathWorld (em inglês)

[Arnold-3] Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. (1985). The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1. [S.l.]: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9

[4] Yoder, Joella G. (2004). Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature. [S.l.]: Cambridge University Press

[5] Ghys, Étienne; Tabachnikov, Sergei; Timorin, Vladlen (2013). «Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem». The Mathematical Intelligencer. 35 (1): 61–66. MR 3041992. arXiv:1207.5662 . doi:10.1007/s00283-012-9336-6

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