Exp(-1/x)

A função matemática definida por $f(x)=e^{\left(-{\frac {1}{x}}\right)}$ diferentes de zero, é muito importante porque permite a construção de vários contraexemplos em análise matemática, pois esta é uma função suave.

Contraexemplo para funções analíticas

Uma função analítica é infinitamente diferenciável. A função $f(x)=e^{\left(-{\frac {1}{x}}\right)}$ permite construir uma função infinitamente diferenciável que não é analítica:

Gráfico de f(x)

$f(x)={\begin{cases}f(x)=e^{\left(-{\frac {1}{x}}\right)}&{\text{se }}x>0,\\0&{\text{se }}x\leq 0,\end{cases}}$