Fórmula de Cauchy para integrações repetidas

A Fórmula de Cauchy para integrações repetidas ou sucessivas, enunciada por Augustin Louis Cauchy, permite compactar n antidiferenciações de uma função em uma integral simples (cf. Fórmula de Cauchy).

Caso escalar

Seja ƒ uma função contínua na reta real. Então a n-ésima antiderivada de ƒ,

f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,d\sigma _{n}\cdots \,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1},

é dada pela simples integração

f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-y\right)^{n-1}f(y)\,dy.

Uma prova é dada por indução. Desde que ƒ seja contínua, o caso mais simples é dado por

{\frac {d}{dx}}f^{(-1)}(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(y)\,dy=f(x).

Um pequeno trabalho demonstra também

{\frac {d}{dx}}f^{(-n)}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-y\right)^{n-1}f(y)\,dy=f^{[n-1]}(x).

Portanto, ƒ^(-n)(x) resulta na n-ésima antiderivada de ƒ(x).

Gerald B. Folland, Advanced Calculus, p. 193, Prentice Hall (2002). ISBN 0-13-065265-2