A fórmula de De Moivre afirma que[ 1]
Abraham De Moivre
(
cos
x
+
i
s
e
n
x
)
n
=
cos
(
n
x
)
+
i
s
e
n
(
n
x
)
∀
x
∈
ℜ
∧
∀
n
∈
Z
{\displaystyle (\cos x+i\mathrm {sen} \,x)^{n}=\cos(nx)+i\mathrm {sen} \,(nx)\,\forall x\in \Re \land \forall n\in Z}
Esta fórmula é importante porque estabelece uma ligação entre números complexos (i é a unidade imaginária ) com a trigonometria . A expressão:
cos
(
x
)
+
i
s
e
n
(
x
)
{\displaystyle \cos \left(x\right)+i\mathrm {sen} \,\left(x\right)}
é frequentemente abreviada por:
c
i
s
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {cis} \left(x\right)}
ainda que a fórmula de Euler seja uma maneira mais comum de a descrever.
Abraham de Moivre foi amigo de Newton ; em 1698 este último escreveu que esta fórmula era do seu conhecimento desde 1676 .
A fórmula de De Moivre pode ser obtida da fórmula de Euler :
e
i
x
=
cos
(
x
)
+
i
s
e
n
(
x
)
{\displaystyle e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\mathrm {sen} \,\left(x\right)}
embora historicamente seja anterior a esta. Ela é um caso particular da expressão mais geral[ 1]
(
|
z
|
(
cos
x
+
i
s
e
n
x
)
)
n
=
|
z
|
n
(
cos
(
n
x
)
+
i
s
e
n
(
n
x
)
)
∀
x
∈
ℜ
∧
∀
n
∈
Z
{\displaystyle (|z|(\cos x+i\mathrm {sen} x))^{n}=|z|^{n}\left(\cos(nx)+i\mathrm {sen} (nx)\right)\,\forall x\in \Re \land \forall n\in Z}
Vamos demonstrar[ 2]
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
z
n
=
(
|
z
|
(
cos
x
+
i
s
e
n
x
)
)
n
=
|
z
|
n
(
cos
(
n
x
)
+
i
s
e
n
(
n
x
)
)
.
∀
x
∈
ℜ
{\displaystyle z^{n}=(|z|(\cos x+i\mathrm {sen} x))^{n}=|z|^{n}\left(\cos(nx)+i\mathrm {sen} (nx)\right).\,\forall x\in \Re }
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
z
{\displaystyle z}
Para
n
=
1
{\displaystyle n=1}
z
=
|
z
|
(
cos
x
+
i
sin
x
)
{\displaystyle z=|z|\left(\cos x+i\sin x\right)}
forma polar de um número complexo (com
r
=
|
z
|
{\displaystyle r=|z|}
θ
=
x
{\displaystyle \theta =x}
Suponhamos agora que a propriedade se verifica para
n
=
k
{\displaystyle n=k}
n
=
k
+
1
{\displaystyle n=k+1}
z
k
+
1
=
z
z
k
=
|
z
|
k
+
1
(
cos
x
cos
(
k
x
)
+
i
(
cos
x
sin
(
k
x
)
+
sin
x
cos
(
k
x
)
)
−
sin
x
sin
(
k
x
)
)
=
|
z
|
k
+
1
(
cos
(
x
(
k
+
1
)
)
+
i
sin
(
k
(
x
+
1
)
)
)
{\displaystyle z^{k+1}=zz^{k}=|z|^{k+1}\left(\cos x\cos(kx)+i(\cos x\sin(kx)+\sin x\cos(kx))-\sin x\sin(kx)\right)=|z|^{k+1}\left(\cos(x(k+1))+i\sin \left(k(x+1)\right)\right)}
Conseguimos provar que a fórmula se verifica, recorrendo às fórmulas
cos
(
a
+
b
)
=
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
{\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b}
sin
(
a
+
b
)
=
cos
a
sin
b
+
sin
a
cos
b
{\displaystyle \sin(a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b}
Queremos agora generalizar para
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
z
0
=
1
{\displaystyle z^{0}=1}
Consideremos
m
=
−
n
∈
N
{\displaystyle m=-n\in \mathbb {N} }
z
n
=
(
z
−
1
)
m
=
1
|
z
|
m
(
cos
−
x
+
i
sin
−
x
)
m
{\displaystyle z^{n}=(z^{-1})^{m}={\frac {1}{|z|^{m}}}\left(\cos -x+i\sin -x\right)^{m}}
Em que aplicámos propriedades dos complexos relacionadas com a potenciação e o quociente . Repare-se que agora estamos perante
−
x
{\displaystyle -x}
x
{\displaystyle x}
1
|
z
|
m
(
cos
−
x
+
i
sin
−
x
)
m
=
|
z
|
−
m
(
cos
−
m
x
+
i
s
i
n
−
m
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{|z|^{m}}}\left(\cos -x+i\sin -x\right)^{m}=|z|^{-m}\left(\cos -mx+isin-mx\right)}
Aplicámos apenas a fórmula que já demonstrámos para os números naturais, uma vez que, como
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
Substituindo de volta por
n
=
−
m
{\displaystyle n=-m}
z
n
=
|
z
|
n
(
cos
n
x
+
i
sin
n
x
)
,
∀
n
∈
Z
{\displaystyle z^{n}=|z|^{n}\left(\cos nx+i\sin nx\right),\forall n\in \mathbb {Z} }
Q.E.D.
Destaque para o facto de a fórmula de De Moivre ser um caso particular para
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
↑ a b BROWN, J. W.; RUEL, C. V. (2003). Complex Variables and Applications (7.ª edição). McGraw-Hill Science Engineering ISBN 9780072872521 . Páginas 18 a 21.
↑ A demonstração segue em grande parte a demonstração da referência anterior, ainda que seja ligeiramente diferente para evitar recorrer demasiado à fórmula de Euler.
