Função Sinhc

Em matemática, a função Sinhc aparece frequentemente em artigos sobre dispersão óptica, espaço-tempo de Heisenberg e geometria hiperbólica. É definida como

$\operatorname {Sinhc} (z)={\frac {\sinh(z)}{z}}$

É uma solução da seguinte equação diferencial:

$w(z)z-2\,{\frac {d}{dz}}w(z)-z{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}w(z)=0$

Gráfico 2D de Sinhc

Gráfico 2D de Sinhc'(z)

Gráfico 2D da Integral de Sinhc

Parte imaginária no plano complexo

• $\operatorname {Im} \left({\frac {\sinh(x+iy)}{x+iy}}\right)$

Parte real no plano complexo

• $\operatorname {Re} \left({\frac {\sinh(x+iy)}{x+iy}}\right)$

Magnitude absoluta

• $\left|{\frac {\sinh(x+iy)}{x+iy}}\right|$

Derivada de primeira ordem

• ${\frac {\cosh(z)}{z}}-{\frac {\sinh(z)}{z^{2}}}$

Parte real da derivada

• $-\operatorname {Re} \left(-{\frac {1-(\sinh(x+iy))^{2}}{x+iy}}+{\frac {\sinh(x+iy)}{(x+iy)^{2}}}\right)$

Parte imaginária da derivada

• $-\operatorname {Im} \left(-{\frac {1-(\sinh(x+iy))^{2}}{x+iy}}+{\frac {\sinh(x+iy)}{(x+iy)^{2}}}\right)$

Valor absoluto da derivada

• $\left|-{\frac {1-(\sinh(x+iy))^{2}}{x+iy}}+{\frac {\sinh(x+iy)}{(x+iy)^{2}}}\right|$

Em termos de outras funções especiais

• $\operatorname {Sinhc} (z)={\frac {{\rm {KummerM}}(1,\,2,\,2\,z)}{{\rm {e}}^{z}}}$
• $\operatorname {Sinhc} (z)={\frac {\operatorname {HeunB} \left(2,0,0,0,{\sqrt {2}}{\sqrt {z}}\right)}{{\rm {e}}^{z}}}$
• $\operatorname {Sinhc} (z)=1/2\,{\frac {{\rm {WhittakerM}}(0,\,1/2,\,2\,z)}{z}}$

Expansão em série

$\operatorname {Sinhc} z\approx \left(1+{\frac {1}{3}}z^{2}+{\frac {2}{15}}z^{4}+{\frac {17}{315}}z^{6}+{\frac {62}{2835}}z^{8}+{\frac {1382}{155925}}z^{10}+{\frac {21844}{6081075}}z^{12}+{\frac {929569}{638512875}}z^{14}+O(z^{16})\right)$

Aproximação de Padé

$\operatorname {Sinhc} \left(z\right)=\left(1+{\frac {53272705}{360869676}}\,{z}^{2}+{\frac {38518909}{7217393520}}\,{z}^{4}+{\frac {269197963}{3940696861920}}\,{z}^{6}+{\frac {4585922449}{15605159573203200}}\,{z}^{8}\right)\left(1-{\frac {2290747}{120289892}}\,{z}^{2}+{\frac {1281433}{7217393520}}\,{z}^{4}-{\frac {560401}{562956694560}}\,{z}^{6}+{\frac {1029037}{346781323848960}}\,{z}^{8}\right)^{-1}$

Galeria

Gráfico 3D de abs(Sinhc)

Gráfico 3D de Im(Sinhc)

Gráfico 3D de Re(Sinhc)

Gráfico 3D de Im(Sinhc'(z))

Gráfico 3D de Re(Sinhc'(z))

Gráfico 3D de abs(Sinhc'(z))

Gráfico 2D de abs(Sinhc)

Gráfico 2D de Im(Sinhc)

Gráfico 2D de Re(Sinhc)

Gráfico 2D de Im(Sinhc'(z))

Gráfico 2D de abs(Sinhc'(z))

Gráfico 2D de Re(Sinhc '(z))