Função de Conway em base 13

A Função de Conway em base 13 é uma função criada pelo matemático britânico John H. Conway como um contraexemplo para a recíproca do teorema do valor intermediário. Em outras palavras, apesar de a função f de Conway não ser contínua, se f(a) < f(b) e for escolhido um valor arbitrário x tal que f(a) < x < f(b), sempre é possível encontrar algum ponto c entre a e b, tal que f(c) = x. Na verdade, esta função satisfaz algo ainda mais forte do que isso: ela assume cada valor real, em cada intervalo da reta real.

A função de Conway em base 13

Propósito

A função de Conway em base 13 foi criada como parte de uma atividade de "produção": neste caso, o desafio era produzir uma função simples de entender que assumisse todos os valores reais em cada intervalo. Com isso, a função é descontínua em todos os pontos.

Definição

A função de Conway em base 13 é uma função $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida como segue. Escreva o valor do argumento $x$ como um tridecimal (um "decimal" na base 13) usando 13 símbolos como 'dígitos': 0, 1, ..., 9, A, B, C; não deve haver uma dízima periódica formada pela letra C no final da representação. Pode haver um sinal à esquerda, e em algum lugar haverá um ponto tridecimal para separar a parte inteira da parte fracionária; estes devem ser ignorados na sequência. Estes "dígitos" pode ser pensados como tendo valores de 0 a 12, respectivamente; originalmente Conway utilizou os dígitos "+", "-" e "." em vez de A, B, C.

• Se a partir de algum ponto, a expansão tridecimal de $x$ estiver na forma $Ax_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots$ em que todos os dígitos $x_{i}$ e $y_{j}$ estão em $\{0,\dots ,9\},$ então $f(x)=x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots$ na notação usual da base 10.
• De modo similar, se a expansão tridecimal de $x$ termina com $Bx_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots ,$ então $f(x)=-x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots .$
• Caso contrário, $f(x)=0.$

Por exemplo, $$f(12345A3C14.159\dots _{13})=f(A3.C14159\dots _{13})=3.14159\dots ,$$ $$f(B1C234_{13})=-1.234,$$

e $f(1C234A567_{13})=0.$

Propriedades

A função $f$ definida desta forma satisfaz a conclusão do teorema do valor intermediário, mas não é contínua em lugar algum. Isto é, em qualquer intervalo fechado $[a,b]$ da reta real, $f$ assume todos os valores entre $f(a)$ e $f(b).$ Mais do que isso, $f$ assume todos os valores reais em algum lugar dentro de cada intervalo aberto $(a,b).$

Para provar isso, seja $c\in (a,b)$ e considere um número real qualquer $r.$ Então $c$ pode ter a parte à direita de sua representação tridecimal modificada para ser $Ar$ ou $Br$ dependendo do sinal de $r$ (substituindo o ponto decimal com um $C$), produzindo um novo número $c'.$ Introduzindo esta modificação suficientemente longe ao longo da representação tridecimal de $c$ o novo número $c'$ ainda estará no intervalo $(a,b)$ e verificará $f(c')=r.$

Assim, $f$ satisfaz uma propriedade mais forte do que a conclusão do teorema do valor intermediário. Além disso, se fosse contínua em algum ponto, $f$ seria localmente limitada neste ponto, o que não é o caso. Assim, $f$ é um verdadeiro contra-exemplo para a recíproca do teorema do valor intermediário.

Referências

• Oman, Greg (2014). «The Converse of the Intermediate Value Theorem: From Conway to Cantor to Cosets and Beyond» (PDF). Missouri J. Math. Sci. 26 (2): 134–150 

Ver também

• Função de Darboux