Função multiplicativa

O conceito de função multiplicativa tem importância capital no desenvolvimento da teoria algébrica dos números, como o produto de Dirichlet, e na teoria analítica dos números, como nas séries de Dirichlet. Para avaliação de uma função multiplicativa basta conhecer seus valores em potências de primos.

Definição

Uma função aritmética é uma função matemática cujo domínio de definição compreende os números inteiros positivos, isto é, os números naturais. Uma função aritmética não nula $f$ é chamada de multiplicativa se

$f(mn)=f(m)f(n)$

para todo par m e n de primos relativos (tais que mdc(m,n) = 1).

Uma função aritmética é denominada completamente multiplicativa quando a relação $f(mn)=f(m)f(n)$ é válida para quaisquer naturais m e n. Sendo este o caso, então, por exemplo, tem-se $f$²(n) = $f$(n²).

Exemplos triviais

• A função $1$(n) = 1 para todo número natural n, é uma função completamente multiplicativa. De fato, dados naturais a e b quaisquer, tem-se $1$(ab) = 1 = 1 · 1 = $1$(a)·$1$(b).

• A função $f$(n) = c para todo natural n, em que c é uma constante diferente da unidade, não é multiplicativa. Dessa maneira, verifica-se facilmente que $f$(6) = c ≠ c² = $f$(2)·$f$(3).

• A função identidade $I_{D}$(n) = n é completamente multiplicativa, pois se n = ab, com a e b naturais quaisquer, então $I_{D}$(n) = n = ab = $I_{D}$(a)·$I_{D}$(b).

Exemplos não triviais

• A função totiente de Euler $\varphi$(n) é uma função multiplicativa. Entretanto $\varphi$ não é uma função completamente multiplicativa: dado um primo p arbitrário, $\varphi$(p²) = p(p - 1) ≠ (p - 1)² = $\varphi$(p)·$\varphi$(p).

• A função divisor $\sigma$_k(n) também é função multiplicativa, mas não é completamente multiplicativa já que, por exemplo, para um primo p constata-se que $\sigma$(p²) = 1 + p + p² ≠ 1 + 2p + p² = (1 + p)(1 + p) = $\sigma$(p)·$\sigma$(p).

• A função número de divisores D(n) é multiplicativa (não poderia ser diferente, dado que D(n) = $\sigma$₀(n), que é multiplicativa conforme o exemplo anterior). É fácil ver que D(n) não é completamente multiplicativa: D(2) = 2, D(4) = 3 e D(2)·D(2) ≠ D(4).

Teoremas

Teorema 1

Se $f$ é uma função multiplicativa então   $F(n)=\sum _{d|n}f(d)$   também é uma função multiplicativa.

Demonstração

Uma vez que todo divisor de mn pode ser expresso de modo único por meio do produto d₁·d₂, tal que d₁|m e d₂|n, com d₁ e d₂ relativamente primos, e como, por hipótese, $f$ é multiplicativa, segue que

${\begin{aligned}\ F(mn)&=\sum _{d|mn}f(d)\\&=\sum _{d_{1}d_{2}|mn}f(d_{1}d_{2})\\&=\sum _{\begin{matrix}^{d_{1}|m}\\^{d_{2}|n}\end{matrix}}f(d_{1})f(d_{2})\\&=\sum _{d_{1}|m}\sum _{d_{2}|n}f(d_{1})f(d_{2})\\&=\sum _{d_{1}|m}f(d_{1})\sum _{d_{2}|n}f(d_{2})\\&=F(m)F(n)\end{aligned}}$

Como aplicação do teorema, pode-se provar que a função $\sigma$ é multiplicativa (a extensão da prova para $\sigma$_k com k qualquer não é complexa): definindo $f$ como a função identidade, então (como já visto nos exemplos triviais acima) $f$ é multiplicativa e segundo o teorema é também multiplicativa a função

$F(n)=\sum _{d|n}f(d)=\sum _{d|n}Id(d)=\sum _{d|n}d=\sigma (n)$

O caso $\sigma$₀(n) = $\tau$(n) também é simples: toma-se $f$(d) = 1 para todo divisor d de n e então

$F(n)=\sum _{d|n}f(d)=\sum _{d|n}1(d)=\sum _{d|n}1=\sum _{d|n}d^{0}=\sigma _{0}(n)=\tau (n)$

Teorema 2

Se  $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} _{+}$  é uma função completamente multiplicativa e monótona então existe  $x\in \mathbb {R} _{+}$  tal que  $f(n)=n^{x}$.

Demonstração

Como $f$ é por hipótese monótona, suponha $f$ estritamente crescente (caso contrário, considere $f^{-1}$). Seja $x=\log _{2}f(2)$. Logo $f(n)=n^{x}$. Assim, para todo natural m tem-se

$2^{\lfloor m\log _{2}n\rfloor }\leq 2^{n}<2^{\lceil m\log _{2}n\rceil }\Rightarrow 2^{x\lfloor m\log _{2}n\rfloor }\leq \left(f(n)\right)^{m}<2^{x\lceil m\log _{2}n\rceil }\Rightarrow 2^{\frac {x\lfloor m\log _{2}n\rfloor }{m}}\leq f(n)<2^{\frac {x\lceil m\log _{2}n\rceil }{m}}$

em que $\lfloor \cdot \rfloor$ e $\lceil \cdot \rceil$ são respectivamente a função chão e a função teto. Além disso, como

$\lim _{m\to \infty }{\frac {x\lfloor m\log _{2}n\rfloor }{m}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {x\lceil m\log _{2}n\rceil }{m}}=x\log _{2}n$,

segue finalmente que

$f(n)=2^{x\log _{2}n}=n^{x}$.

Notas e referências

Ligações Externas

• [Multiplicative Function] (em inglês). Weisstein, Eric W. "Multiplicative Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• [Completely Multiplicative Function] (em inglês). Weisstein, Eric W. "Completely Multiplicative Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• [Multiplicative Number Theoretic Function] (em inglês). Weisstein, Eric W. "Multiplicative Number Theoretic Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.