Hiperplano

Um hiperplano é um conceito em geometria. Ele é a generalização do plano em diferentes números de dimensões.

Na geometria, um hiperplano pode ser um espaço vetorial, transformação afim ou o sub-espaço de dimensão n-1. Em particular, num espaço tridimensional um hiperplano é um plano habitual. Num espaço bidimensional, um hiperplano é uma reta. Num espaço unidimensional, um hiperplano é um ponto.

Denomina-se hiperplano em $\chi$ (por exemplo, $\chi =\mathbb {R} ^{N}$) um conjunto de elementos tais que

$H=\left[x\in \chi :p^{T}\cdot x=b\right]$

, sendo $p$ um vetor não-nulo normal a $H$ e também percence a $\chi$, e $b$ pertence ao conjunto dos números reais.

Um hiperplano é um espaço vetorial se $b=0$

Hiperplano nos números reais

Um hiperplano em $\mathbb {R} ^{1}$ é calculado tendo as coordenadas do ponto, em $\mathbb {R} ^{2}$ tendo as coordenadas de um ponto qualquer da reta e sua direção, sendo essa direção tanto em coordenadas polares (em função ângulo agudo formado com o eixo $x$) ou tanto como vetorial. Em $\mathbb {R} ^{3}$ é possível calcular tendo um ponto do plano e o vetor normal a ele, sendo este composto pelos coeficientes de $x$, $y$ e $z$, respectivamente.

Exemplo

$\mathbb {R} ^{1}$

P = $(x_{o},y_{o},z_{o})$
P = $(1,0,3)$

$\mathbb {R} ^{2}$

r: $x=x_{o}+at$                        vetor diretor $(a,b,c)$
   $y=y_{o}+bt$                        ponto arbitrário $(x_{o},y_{o},z_{o})$
   $z=z_{o}+ct$

r: $x=2+3t$
   $y=3+4t$
   $z=2t$

O ponto escolhido no exemplo foi P = $(2,3,0)$ e o vetor foi $v=(3,4,2)$

$\mathbb {R} ^{3}$ $ax+by+cz+d=0$ $vetornormal=(a,b,c)$ $2x+3y-z=15$ Vetor normal ao plano $v=(2,3,-1)$.

Propriedades

• Um hiperplano em um espaço de dimensão $n$ é um conjunto afim com dimensão $n-1$.
• Um hiperplano divide o espaço em dois semi-espaços fechados e convexos, mas não afins
• Um hiperplano pode ser descrito por uma equação linear não degenerada na seguinte forma:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}=b\,\!$