Homologia singular

Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos $\{H_{p}^{s}(X)\}_{p\in \mathbb {N} }$, e a cada aplicação contínua $f:X\rightarrow Y\,\!$, entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos $f_{*,p}:H_{p}^{s}(X)\rightarrow H_{p}^{s}(Y)$ $(p\in \mathbb {N} )$.

Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante $Hom\,\!$ entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos grupos graduados em $\mathbb {N}$ e os homomorfismos de grupos graduados em $\mathbb {N}$. É conveniente também, dado um espaço topológico $X\,\!$ e um subespaço $A\subset X$, definir a homologia singular relativa $H(X,A)\,\!$.

Definições associadas

Seja $X\,\!$ um espaço topológico, $\Delta _{p}\,\!$ o simplexo padrão p-dimensional, isto é;

$\Delta _{p}=\{(x_{1},...,x_{p})\in \mathbb {R} ^{p}|\sum _{i=1}^{p}{x_{i}}\leq 1\}.$

Note que, $\{e_{1},...,e_{p}\}\,\!$, a base canônica do $\mathbb {R} ^{p}$ também é o conjunto dos pontos extremais do convexo $\Delta _{p}\,\!$.

Sejam também, para $1\leq j<p$,

$F_{i}^{p}=[e_{1},...,{\hat {e_{i}}},...,e_{p-1}]:\mathbb {R} ^{p-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{p}$,

a aplicação linear que leva $e_{i}\,\!$ em $e_{i}\,\!$, para $i<j\,\!$, e $e_{i}\,\!$ em $e_{i+1}\,\!$, para $j\leq i<p$.

$F_{i}^{p}$ é o chamado i-ésimo operador face de $\Delta _{p}\,\!$.

Definimos o p-ésimo operador bordo sobre $\Delta _{p}\,\!$ como

$\partial _{p}:\Delta _{p-1}\rightarrow \Delta _{p}\,\!$ dada por $\partial _{p}(x)=\sum _{i=1}^{p}{(-1)^{i}F_{i}^{p}(x)}$.

Construção do complexo singular

Definimos um p-simplexo singular de $X\,\!$ como uma aplicação contínua

$\sigma :\Delta _{p}\rightarrow X\,\!$.

Definimos para $p\geq 0$ o p-ésimo grupo singular de $X$, $G_{p}^{s}(X)$, como sendo o grupo abeliano livre gerado pelos p-simplexos singulares de $X$. Note que podemos definir também $\partial _{p}$ agindo sobre $G_{p}^{s}(X)$. Podemos escrever um elemento qualquer de $G_{p}^{s}(X)$ como $\sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i}$, onde os $\sigma _{i}\,\!$'s são p-simplexos singulares de $X\,\!$, e os $c_{i}\,\!$'s são inteiros não-nulos. Definimos $\partial _{p}(\sum _{i=1}^{N}{c_{i}\sigma _{i}})$ por $\sum _{i=1}^{N}{c_{i}\partial _{p}(\sigma _{i})}$.

Portanto, $\partial _{p}:G_{p}^{s}(X)\rightarrow G_{p-1}^{s}(X)$ está bem definida.

Seja $p\in \mathbb {N}$. Chamamos de $Nuc(\partial _{p})\,\!$ de grupo dos p-ciclos singulares de X, que será denotado por $Z_{p}^{s}(X)$. De forma análoga, diremos que $Im(\partial _{p+1})\,\!$ é o grupo dos p-bordos singulares de X, que será denotado por $B_{p}^{s}(X)$. É fácil mostrar que $\partial _{p}\partial _{p-1}=0\,\!$, e que portanto, ${\mathcal {S}}(X)=\{(G_{p}^{s}(X),\partial _{p})\}_{p\in \mathbb {N} }$ define um complexo de cadeias, a que chamaremos de complexo de cadeias singulares associado ao espaço topológico $X$ Por definição, o p-ésimo grupo de Homologia de ${\mathcal {S}}(X)$ é grupo $H_{p}^{s}(X)=Z_{p}^{s}(X)/B_{q}^{s}(X)$.