Integração numérica

Em matemática, em especial na análise numérica, existe uma grande família de algoritmos, cujo principal objetivo é aproximar o valor de uma dada integral definida de uma função sem o uso de uma expressão analítica para a sua primitiva.^[1]

Normalmente, estes métodos adotam as seguintes três fases:^[2]

Decomposição do domínio em pedaços (um intervalo contido de sub-intervalos);
Integração aproximada da função de cada pedaço;
Soma dos resultados numéricos obtidos.

A necessidade de se usar a integração numérica surge de razões como:^[2]^[3]

nem todas as funções admitem uma primitiva de forma explícita (por exemplo, a função erro);
a primitiva da função é muito complicada para ser avaliada;
quando não se dipões de uma expressão analítica para o integrando, mas se conhece seus valores em um conjunto de pontos do domínio.

O método básico envolvido nesta aproximação é chamado de quadratura numérica e consiste na seguinte expressão:

\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq \sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}f(x_{i})\,

onde $\{\alpha _{i}\}\,$ são coeficientes reais (chamados de pesos da quadratura) e $\{x_{i}\}\,$ são pontos de $[a,b]\,$ (chamados de pontos da quadratura) .^[2]

Razões para integração numérica

Existem várias razões para realizar a integração numérica, em oposição à integração analítica por encontrar a antiderivada:

1 - O integrando f (x) pode ser conhecido apenas em certos pontos, como obtido por amostragem. Alguns sistemas embarcados e outros aplicativos de computador podem precisar de integração numérica por esse motivo;

2 - Uma fórmula para o integrando pode ser conhecida, mas pode ser difícil ou impossível encontrar uma antiderivada que seja uma função elementar . Um exemplo de tal integrando é f ( x ) = exp (- x ² ), a antiderivada do qual (a função de erro , vezes uma constante) não pode ser escrita na forma elementar;

3 - Pode ser possível encontrar uma antiderivada simbolicamente, mas pode ser mais fácil calcular uma aproximação numérica do que calcular a antiderivada. Esse pode ser o caso se a antiderivada for dada como uma série ou produto infinito, ou se sua avaliação exigir uma função especial que não está disponível.

História

Artigo principal: Quadrature (Mathematics)

Quadratura é um termo matemático histórico que significa calcular área. Os problemas de quadratura têm servido como uma das principais fontes de análise matemática. De acordo com a doutrina pitagórica, matemáticos da Grécia Antiga, entendiam o cálculo da área como o processo de construção geometricamente de um quadrado com a mesma área (quadratura). É por isso que o processo foi nomeado como quadratura. Por exemplo, uma quadratura do círculo, Lune de Hipócrates, A Quadratura da Parábola. Esta construção deve ser realizada apenas por meio de bússola e reto.

Os antigos babilônios usaram a regra trapezoidal para integrar o movimento de Júpiter ao longo da eclíptica.

Antigo método para encontrar a média geométrica

Para uma quadratura de um retângulo com os lados a e b é necessário construir um quadrado com o lado $x={\sqrt {a\!b}}$ (a média geométrica de a e b). Para isso, é possível utilizar o seguinte fato: se desenharmos o círculo com a soma de a e b como diâmetro, então a altura BH (de um ponto de sua conexão com a travessia com um círculo) é igual à sua média geométrica. A construção geométrica semelhante resolve um problema de uma quadratura para um paralelograma e um triângulo.

Problemas de quadratura para figuras curvilíneas são muito mais difíceis. A quadratura do círculo com bússola e reta tinha sido provada no século XIX como impossível. No entanto, para algumas figuras (por exemplo, a Lune de Hipócrates) uma quadratura pode ser realizada. As quadraturas de uma superfície de esfera e um segmento de parábola feito por Arquimedes tornaram-se a maior conquista da análise antiga.

Área de segmento parábola

A área da superfície de uma esfera é igual a quadruplicar a área de um grande círculo desta esfera.
A área de um segmento da parábola cortada por uma linha reta é 4/3 a área do triângulo inscrito neste segmento.

Para a comprovação dos resultados, Arquimedes utilizou o Método de exaustão de Eudoxo.

Na Europa medieval, a quadratura significava cálculo de área por qualquer método. Mais frequentemente, utilizou-se o Método de indivisíveis; era menos rigoroso, mas mais simples e poderoso. Com sua ajuda Galileu Galilei e Gilles de Roberval encontraram a área de um arco cicloide, Grégoire de Saint-Vincent investigou a área sob uma hipérbole (Opus Geometricum, 1647), e Alphonse Antonio de Sarasa, aluno e comentarista de Saint-Vincent, observou a relação desta área com logaritmos.

John Wallis algebrised este método: ele escreveu em sua série Arithmetica Infinitorum (1656), que agora chamamos de integral definitiva, e calculou seus valores. Isaac Barrow e James Gregory fizeram mais progressos: quadraturas para algumas curvas algébrias e espirais. Christiaan Huygens realizou com sucesso uma quadratura de alguns Sólidos da revolução.

A quadratura da hipérbole de São Vicente e de Sarasa proporcionou uma nova função, o logaritmo natural,de importância crítica.

Com a invenção do cálculo integral veio um método universal para o cálculo da área. Em resposta, o termo quadratura tornou-se tradicional, e em vez disso, a frase moderna "computação de uma integral univariada definitiva" é mais comum.^[^{carece de fontes?]}

Ordem de aproximação

Um esquema de integração numérica é dito ter ordem de aproximação N se for exato para cada polinômio de grau menor ou igual a N.^[3]

Exemplos

Regras de Newton-Cotes

Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método do ponto médio ou dos retângulos

Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método dos trapézios

Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método Simpson

As regras abaixo são conhecidas como Fórmulas de Newton-Cotes, há dois tipos delas as abertas e as fechadas. A regra do ponto médio é uma fórmula de Newton-Cotes aberta. A regra trapezoidal e de Simpson são exemplos de uma categoria de métodos conhecida como fórmulas de Newton-Cotes fechada. A fórmula de Newton-Cotes é chamada fechada quando o conjunto de seus pontos incluem os extremos do intervalo de integração.^[1]^[2]

Regra do Ponto Médio ou dos retângulos:

\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)

Regra Trapezoidal:

\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}

Regra de Simpson:

\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq (b-a){\frac {f(a)+4f({\frac {a+b}{2}})+f(b)}{6}}

Integral	Valor exato	Regra dos retângulos	Regra trapezoidal	Regra de Simpson
$\int _{0}^{1}e^{x}dx$	$e-1\simeq 1,7183$	$e^{({\frac {1+0}{2}})}\simeq 1,6487$	${\frac {1+e}{2}}\simeq 1,8591$	${\frac {1+4e^{1/2}+e}{6}}\simeq 1,7189$
$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx$	${\frac {\pi }{4}}\simeq 0,7854$	${\sqrt {1-0.5^{2}}}\simeq 0,8660$	${\frac {1}{2}}=0,5$	${\frac {1+4{\frac {\sqrt {3}}{2}}+0}{6}}\simeq 0,7440$

Erro de aproximação

Pode-se mostrar que o erro assumido ao aproximar a integral de uma função suficientemente diferenciável pelo método do ponto médio é de $+{\frac {h^{3}}{24}}f''(x_{0})\,$ ; método trapezoidal é $-{\frac {h^{3}}{12}}f''(x_{0})\,$ , onde $x_{0}\,$ é um ponto do intervalo de integração e $h$ é o comprimento deste intervalo. Um resultado análogo indica que o erro do método de Simpson é $-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(x_{0})\,$ .

Observação: Na medida em que o termo do erro para a regra do ponto médio e do trapezoidal envolve $f''$ , estas regras fornecem resultados exatos quando aplicadas a qualquer função cuja derivada de 2ª ordem é igual a zero. Em particular, é exata para qualquer polinômio de grau menor ou igual a 2. Já o erro do método de Simpson envolve a derivada $4^{a}$ ordem, a regra de Simpson tem ordem de aproximação 3.

Métodos compostos

Os chamados métodos compostos consistem em dividir o intervalo de integração em diversos subintervalos e aplicar um método de quadratura em cada um dos intervalos:

\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{i=1}^{N}\int _{a_{i}}^{b_{i}}f(x)dx

onde $a_{1}=a\,$ , $b_{i}=a_{i+1}\,$ e $b_{n}=b\,$ . O princípio básico destes métodos é o fato de o erro decrescer rapidamente com o comprimento do intervalo.^[1]

Exemplos

Os seguintes exemplos foram construídos subdividindo o intervalo de integração em subintervalos de comprimento constante e sob a notação $x_{1}=a\,$ , $x_{n}=b\,$ e $x_{n+1}=x_{n}+h\,$ .

Regra trapezoidal composta:

\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq {\frac {h}{2}}\left[f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\ldots +f(x_{n})\right]

Regra de Simpson composta:

\int _{a}^{b}f(x)dx\simeq {\frac {h}{3}}\left[f(x_{1})+4f(x_{2})+2f(x_{3})+4f(x_{4})+\ldots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n})\right]

aqui n deve ser um número ímpar.^[1]

Outros métodos de quadratura numérica

Método do Cálculo multi-dimensional integrante

Método de Monte Carlo

Método de Cálculo determinante forma integral

Método de Laplace para integrais do tipo $\int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,{\mbox{d}}x\,$ ;
Método de ponto-neck para integrais do tipo $I(\lambda )=\int _{\mathcal {C}}f(z)e^{\lambda g(z)}\,{\mbox{d}}z\,$ .

Ver também

Referências

↑ ^a ^b ^c ^d Sperandio, Mendes e Monken (2003). Calculo Numérico. características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. [S.l.]: Pearson
↑ ^a ^b ^c ^d Burden e Richard L. (2003). Análise Numérica. [S.l.]: Thomson
↑ ^a ^b Ruggiero, Lopes. Calculo Numérico. Aspectos teóricos e computação. único 2 ed. [S.l.]: Pearson

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[Sperandio-1] Sperandio, Mendes e Monken (2003). Calculo Numérico. características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. [S.l.]: Pearson

[Burden-2] Burden e Richard L. (2003). Análise Numérica. [S.l.]: Thomson

[Ruggiero-3] Ruggiero, Lopes. Calculo Numérico. Aspectos teóricos e computação. único 2 ed. [S.l.]: Pearson

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