Integral múltipla

A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis.

Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio. Se houver mais de duas variáveis, a integral representa o hipervolume de funções multidimensionais.

Integrais múltiplas de uma função de n variáveis sobre um domínio D são geralmente representadas por sinais de integrais juntos na ordem reversa de execução (a integral mais à esquerda é computada por último) seguidos pela função e pelos símbolos de diferenciais das variáveis de integração na ordem apropriada (a variável mais à direita é integrada por último). O domínio de integração é representado simbolicamente em todos os sinais de integração ou é, freqüentemente, abreviado por uma letra no sinal de integração mais à direita:

$\int \!\!\int \!\!\ldots \int _{D}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\,dx_{2}\ldots dx_{n}$

Uma vez que é impossível calcular a primitiva de uma função de múltiplas variáveis, não existem integrais múltiplas indefinidas. Assim, todas as integrais múltiplas são definidas.

Exemplos

Por exemplo, o volume do paralelepípedo de lados 4, 5 e 6 pode ser calculado usando:

• A integral dupla

$\int \!\!\int _{D}\,5\,dx\,dy$

da função $f(x,y)=5$ na região D no plano xy que forma a base do paralelepípedo.

• A integral tripla

$\int \!\!\int \!\!\int _{D}\,1\,dx\,dy\,dz$

da função constante unitária sendo D o próprio paralelepípedo.

Definição

Assim como nas integrais de uma variável, a integral múltipla pode ser definida a partir de uma Soma de Riemann.

Integral múltipla sobre uma região retangular

Esboço de uma partição $C$ de uma região retangular $T=[a_{1},~b_{1})\times [a_{2},~b_{2})$.

Consideramos $T\subset \mathbb {R} ^{n}$ um retângulo de $n\geq 1$ dimensões semi-aberto:

$T=[a_{1},b_{1})\,\times \,[a_{2},b_{2})\,\times \ldots \,\times \,[a_{n},b_{n})$

Particionamos cada intervalo $[a_{i},b_{i})$ em uma família $I_{i}$ de intervalos disjuntos semi-abertos (fechados na esquerda e aberto na direita). Desta forma,

$C=I_{1}\,\times \,I_{2}\,\times \ldots \,\times \,I_{n}$

é uma família finita de subretângulos disjuntos que forma uma partição de $T$.

Seja $f:T\to \mathbb {R}$ uma função definida em $T$. Para cada partição $C$ de $T$ temos

$T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}$

onde $m$ é o número de subretângulos pertencentes à partição $C$ e $C_{j}$ denota o $j$-ésimo retângulo desta. Uma soma de Riemann de $f$ associada à partição $C$ é dada por:

$\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})$

onde para cada k, $P_{k}$ é um ponto pertencente a $C_{k}$ e $\operatorname {m} (C_{k})$ é o produto dos comprimentos dos intervalos que formam $C_{k}$.

Dizemos que a função $f$ é integrável pelo conceito de Riemann (ou, simplesmente, Riemann integrável) se o limite

$S(C,f)=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})$

existe, onde este é tomado sobre todas as partições possíveis de $T$ cujo diâmetro de cada subretângulo é no máximo δ. Se $f$ é Riemann integrável, $S(C,f)$ é chamada integral de Riemann de $f$ sobre $T$. Escrevemos:

$\int \!\!\int \!\!\ldots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\,dx_{2}\ldots dx_{n}=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})$

A integral múltipla sobre um subconjunto compacto de $\mathbb {R} ^{n}$

Esboço de uma região de integração $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ compacta e ilustração do procedimento de partição.

A integral de Riemann de uma função definida sobre um subconjunto compacto qualquer pode ser definida estendendo a função para um retângulo semi-aberto cujos valores fora do domínio original são nulos. Mais precisamente, sejam $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ compacto e $f:D\to \mathbb {R}$ função limitada definida em $D$. Consideramos a extensão de $f$ para o domínio $\mathbb {R} ^{n}$ assumindo que $f\equiv 0$ fora de $D$. Como $D$ é limitado, tomamos um retângulo $T\supset D$.

De forma análogo ao caso anterior, dizemos que a função $f$ é Riemann integrável sobre $D$ quando existe $L\in \mathbb {R}$ (valor da integral) tal que, para todo número real $\epsilon >0$, existe uma partição $C_{\epsilon }$ de $T$ tal que se $C$ é um refinamento de $C_{\epsilon }$ e $S(C,f)$ é qualquer soma de Riemann de $f$ associada à partição $C$, então $|S(C,f)-L|<\epsilon$.

Note que o limite $L$, quando existe, não depende da escolha do retângulo $T$, desde que ele contenha $D$.

Propriedades

As integrais múltiplas têm várias propriedades análogas às integrais simples (unicidade, linearidade, aditividade, etc). Além disso, uma integral múltipla pode ser usada para definir o valor médio de uma função em um dado conjunto. Dado um conjunto $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e uma função integrável $f$ sobre $D$, a valor médio de $f$ sobre seu domínio é dado por

${\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,$

onde $\;m(D)$ é a medida de $\;D$.

Métodos de Integração

A resolução de problemas com integrais múltiplas consiste na maioria dos casos em achar um método de reduzir a integral múltipla a uma série de integrais de uma variável, sendo cada uma diretamente integrável. Este procedimento é garantido pelo Teorema de Fubini.

Fórmulas de redução

Fórmulas de redução usam o conceito de domínio simples para possibilitar a decomposição da integral múltipla como um produto de integrais simples. Essas têm que ser resolvidas da direita para a esquerda considerando as outras variáveis como constantes (o mesmo procedimento adotado para o cálculo de derivadas parciais).

Domínios no R²

Eixo x

Esboço de um domínio do tipo $D:a\leq x\leq b,\alpha (x)\leq y\leq \beta (x).$

Se $D$ é um domínio delimitado por $x=a$ (esquerda), $x=b$ (direita), $y=\alpha (x)$ (inferior) e por $y=\beta (x)$ (superior) (veja ,então, a integral pode ser reduzida a:

$\int \!\!\int _{D}\,f(x,y)\,dx\,dy\,=\int _{x=a}^{x=b}\int _{y=\alpha (x)}^{y=\beta (x)}f(x,y)\,dy\,dx$

Eixo y

Esboço de um domínio do tipo $D:a\leq y\leq b,\alpha (y)\leq x\leq \beta (y).$

Se $D$ é um domínio delimitado por $y=a$ (superior), $y=b$ (inferior), $x=\alpha (y)$ (esquerda) e por $x=\beta (y)$ (direita),então, a integral pode ser reduzida a:

$\int \!\!\int _{D}\,f(x,y)\,dx\,dy\,=\int _{y=a}^{y=b}\int _{x=\alpha (y)}^{x=\beta (y)}f(x,y)\,dx\,dy$

Domínios no R³

As integrais triplas são reduzidas a integrais duplas e estas a integrais simples; assim, se no plano $xy$ o domínio é limitado por $z=\alpha (x,y)$ e $z=\beta (x,y)$, a integral fica:

$\int \!\!\int _{D}\int _{z=\alpha (x,y)}^{z=\beta (x,y)}\,f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy$

Agora, temos uma integral dupla sobre $D$.

Mudança de variável

Às vezes, regiões complicadas podem ser transformadas em regiões simples através de uma mudança de variável. Seja $f:D\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ e $\mathbf {u} =\mathbf {u} (x_{1},~x_{2},~\ldots ,~x_{n})$ uma bijeção de $T\subset \mathbb {R} ^{n}$ em $D$. A substituição de variáveis $\mathbf {x} =(x_{1},~x_{2},~\ldots ,~x_{n})$ para $\mathbf {u} =(u_{1},~u_{2},~\ldots ,~u_{n})$ pode ser feita conforme seque:

$\int \int \cdots \int _{D}f(x_{1},~x_{2},~\ldots ,~x_{n})dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\int \int \cdots \int _{T}F(u_{1},~u_{2},~\ldots ,~u_{n})\left|J(u_{1},~u_{2},~\ldots ,~u_{n})\right|du_{1}du_{2}\cdots u_{n}$

onde $F$ é a função $f$ nas variáveis $(u_{1},~u_{2},~\ldots ,~u_{n})$ e $J(u_{1},~u_{2},~\ldots ,~u_{n})={\frac {\partial (x_{1},~x_{2},~\ldots ,~x_{n})}{\partial (u_{1},~u_{2},~\ldots ,~u_{n})}}$ é o determinante da matriz Jacobiana da transformação.

Integrais duplas em coordenadas polares

Seja $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ definida por $z=f(x,y)$. Em coordenadas polares temos $x=r{\text{cos}}(\theta )$ e $y=r{\text{sen}}(\theta )$, onde $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ e $\theta ={\text{arc tg}}\left({\frac {y}{x}}\right)$. Segue da mudança de variáveis que:

$\int \int _{D}f(x,y)dxdy=\int \int _{T}f[r{\text{cos}}(\theta ),~r{\text{sen}}(\theta )]|J(r,\theta )|drd\theta$

sendo $|J(r,\theta )|=r$.

Integrais triplas em coordenadas cilíndricas

Seja $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ definida por $w=f(x,y,z)$. Em coordenadas cilíndricas temos $x=r{\text{cos}}(\theta )$, $y=r{\text{sen}}(\theta )$ e $z=z$, onde $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ e $\theta ={\text{arc tg}}\left({\frac {y}{x}}\right)$. Segue da mudança de variáveis que:

$\int \int \int _{D}f(x,y,z)dxdydz=\int \int \int _{T}f[r{\text{cos}}(\theta ),~r{\text{sen}}(\theta ),~z]|J(r,\theta ,z)|drd\theta dz$

sendo $|J(r,\theta ,z)|=r$.

Integrais triplas em coordenadas esféricas

Seja $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ definida por $w=f(x,y,z)$. Em coordenadas esféricas temos $x=\rho {\text{sen}}(\phi ){\text{cos}}(\theta )$, $y=\rho {\text{sen}}(\phi ){\text{sen}}(\theta )$ e $z=\rho {\text{cos}}(\phi )$, onde $\rho =x^{2}+y^{2}+z^{2}$, $\phi ={\text{arc tg}}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)$ e $\theta ={\text{arc tg}}\left({\frac {y}{x}}\right)$. Segue da mudança de variáveis que:

$\int \int \int _{D}f(x,y,z)dxdydz=\int \int \int _{T}f[\rho {\text{sen}}(\phi ){\text{cos}}(\theta ),~\rho {\text{sen}}(\phi ){\text{sen}}(\theta ),~\rho {\text{cos}}(\phi )]|J(\rho ,\phi ,\theta )|d\rho d\phi d\theta$

sendo $|J(r,\phi ,\theta )|=\rho ^{2}{\text{sen}}(\phi )$.

Visualização

O motivo de, numa mudança de variáveis, multiplicar-se o integrando pelo determinante da matriz jacobiana pode ser visualizado, para o caso de 2 variáveis, na figura abaixo:

Nesse exemplo, um mapeamento linear de (u,v) em (x,y) resulta num aumento de área e distorção angular da figura. Se selecionarmos um subdomínio do quadrado maior em (u,v), os ângulos entre lados opostos diminuem, e a imagem mapeada tende a um paralelogramo, para uma função contínua e diferenciável.

Mapeamento linear de u,v em x,y. A imagem tende a um paralelogramo para menores domínios.

A área do paralelogramo é o produto dos lados pelo seno do ângulo entre eles.
Como na figura, o ângulo entre os lados é $90-(\alpha +\beta )$:

$S_{\Delta {x}\Delta {y}}={\frac {\Delta {x}}{cos({\beta })}}*{\frac {\Delta {y}}{cos({\alpha })}}*cos({\alpha +\beta })$,

Como $cos({\alpha +\beta })=cos({\alpha })*cos({\beta })-sen({\alpha })*sen({\beta })$:

$S_{\Delta {x}\Delta {y}}=\Delta {x}*\Delta {y}-\Delta {x}*\Delta {y}*tan({\alpha })*tan({\beta })$

Dividindo por $\Delta {u}*\Delta {v}$ para determinar a relação entre as áreas:

${\frac {S_{\Delta {x}\Delta {y}}}{S_{\Delta {u}\Delta {v}}}}={\frac {\Delta {x}}{\Delta {u}}}*{\frac {\Delta {y}}{\Delta {v}}}-{\frac {\Delta {x}*tan({\beta })}{\Delta {u}}}*{\frac {\Delta {y}*tan({\alpha })}{\Delta {v}}}$

$\Delta {x}*tan({\beta })$ é o deslocamento vertical em ($x,y$) correspondente a $\Delta {u}$.

$\Delta {y}*tan({\alpha })$ é o deslocamento vertical em ($x,y$) correspondente a $\Delta {v}$.

Portanto quando $\Delta {u}\Delta {v}$ tende a zero,

$d{x}d{y}=({\frac {\partial {x}}{\partial {u}}}*{\frac {\partial {y}}{\partial {v}}}-{\frac {\partial {y}}{\partial {u}}}*{\frac {\partial {x}}{\partial {v}}})*d{u}d{v}$,

a relação entre as áreas infinitesimais é o determinante da matriz jacobiana.

Um mapeamento não linear também leva ao mesmo resultado, porque ele tende à situação linear à medida que se reduz o domínio.

Ver também

• Integral
• Cálculo
• Teorema da divergência
• Teorema de Stokes
• Teorema de Green
• Teorema de Fubini