Lema de Bhaskara

Lema de Bhaskara é uma identidade matemática usada como lema matemático durante o método chakravala. Diz que:

\,Nx^{2}+k=y^{2}\implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}

para inteiros $m,\,x,\,y,\,N,$ e inteiro diferente de zero $k$ .

Prova matemática

A prova matemática segue de manipulações algébricas simples como segue: multiplique ambos os lados da equação por $m^{2}-N$ , adicionar $N^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}$ , fatorar e dividir por $k^{2}$ .

\,Nx^{2}+k=y^{2}\implies Nm^{2}x^{2}-N^{2}x^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}-Ny^{2}

\implies Nm^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}+2Nmxy+N^{2}x^{2}

\implies N(mx+y)^{2}+k(m^{2}-N)=(my+Nx)^{2}

\implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}.

Desde que nem $k$ nem $m^{2}-N$ sejam iguais a zero, a conclusão acima é verdadeira em ambas as direções. (Este lema matemático vale para números reais ou complexos, bem como inteiros.)

C. O. Selenius, "Rationale of the chakravala process of Jayadeva and Bhaskara II", Historia Mathematica, 2 (1975), 167-184.
C. O. Selenius, Kettenbruch theoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-Gleichung, Acta Acad. Abo. Math. Phys. 23 (10) (1963).
George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (1975).