Lema fundamental do cálculo das variações

Em matemática, em especial em cálculo das variações, o lema fundamental dos cálculos da variações ou do cálculo variacional é uma lema que é tipicamente utilizado para transformar um problema em sua formulação fraca (forma variacional) na sua forma forte (equação diferencial).

Seja f uma função de classe $C^{k}$ no intervalo [a,b]. Supomos ainda que

$\int _{a}^{b}f(x)\,h(x)\,dx=0$

para toda função h que de classe $C^{k}$ em [a,b] com h(a) = h(b) = 0. Então, o lema fundamental do cálculo das variações afirma que f(x) é identicamente nula no intervalo aberto (a,b).

Aplicações

Este lema é utilizado para provar que os extremos de um funcional

$J[L(t,y,{\dot {y}})]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}L(t,y,{\dot {y}})\,dt$

são as soluções fracas da equação de Euler-Lagrange

${\partial L(t,y,{\dot {y}}) \over \partial y}={d \over dt}{\partial L(t,y,{\dot {y}}) \over \partial {\dot {y}}}.$

As equações de Euler-Lagrange possuem um papel importante em mecânica clássica e geometria diferencial.

Referências

• L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis), 2nd ed, Springer; 2nd edition (September 1990) ISBN 0-387-52343-X.
• Lang, Serge (1969). Analysis II. [S.l.]: Addison-Wesley 
• Leitmann, George (1981). The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction. [S.l.]: Springer. ISBN 0306407078. Consultado em 17 de abril de 2007