Matriz simétrica

Em álgebra linear, uma matriz diz-se simétrica se coincidir com a sua transposta, ou seja, se $A=A^{T}.$

Propriedades

Seja $A$ uma matriz quadrada de ordem $n.$ Então:

• Se $A$ é simétrica, então para qualquer escalar $k,$ a matriz $k.A$ também é simétrica
• A matriz $B=A+A^{T}$ é simétrica
• A matriz $B=A-A^{T}$ é uma matriz antissimétrica
• $A$ sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica $S$ com uma matriz antissimétrica $T,$ isto é, $A=S+T,$ onde:

$$S={\frac {1}{2}}\left(A+A^{T}\right)$$ $$T={\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)$$

Além disso, deve-se notar que qualquer matriz simétrica:

• É quadrada, isto é, tem tantas linhas quanto colunas;
• Tem todos os valores próprios reais;
• É diagonalizável através de uma matriz ortogonal.

Exemplos

As matrizes a seguir são exemplos de matrizes simétricas:

• A matriz $S=S^{T}={\begin{bmatrix}1&5&9\\5&3&8\\9&8&7\\\end{bmatrix}}$ é simétrica.
• A matriz nula, de qualquer ordem;
• A matriz identidade, de qualquer ordem;
• A matriz $A+A^{T},$ para qualquer matriz quadrada A.
• As matrizes $A^{T}\times A$ e $A\times A^{T}$ são simétricas, para qualquer matriz $A$ real $m\times n$. Por exemplo, a matriz $B={\begin{bmatrix}2&0&2\\1&-1&2\\0&3&0\\\end{bmatrix}}$ tem como transposta a matriz $B^{T}={\begin{bmatrix}2&1&0\\0&-1&3\\2&2&0\\\end{bmatrix}}$. Nenhuma delas é uma matriz simétrica. Entretanto, o produto dessas duas matrizes, $B\times B^{T}={\begin{bmatrix}8&6&0\\6&4&-3\\0&-3&0\\\end{bmatrix}}$, é uma matriz simétrica.

Ver também

• Matriz antissimétrica

Bibliografia

• Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975