Mecânica celeste

A mecânica celeste é o ramo da astronomia que estuda os movimentos dos corpos celestes (naturais ou não). A principal força determinante dos movimentos celestes é a gravitação, contudo certos corpos (satélites artificiais, cometas e asteróides) podem sofrer a influência marcante de forças não gravitacionais como a pressão de radiação e o atrito (com a atmosfera superior no caso dos satélites artificiais terrestres). A astronáutica está intimamente ligada a esta ciência.

Objetivo

O objetivo da Mecânica Celeste, como o da Astrometria, é o de determinar as posições relativas dos astros e suas variações com o tempo, mas diferentemente da Astrometria, a Mecânica Celeste faz esse estudo baseada principalmente nos dados da Astrometria e na parte teórica fornecida pela Mecânica Clássica.

A Mecânica Celeste é, pois, a parte da Astronomia que visa estudar o movimento relativo dos astros que estão submetidos às forças admitidas como resultantes da atração gravitacional entre esses corpos celestes. Assim, podemos dizer que a Mecânica Celeste estuda os movimentos relativos dos astros, aplicando as leis da Mecânica Newtoniana.

Funcionalidades

Usando a mecânica celeste é possível, por exemplo, determinar as distâncias e as posições dos astros do Sistema Solar, calcular órbitas de satélites artificiais em torno da Terra, determinar as trajetórias de sondas espaciais enviadas a outros astros do Sistema Solar e determinar as massas de corpos celestes, tais como planetas, satélites e estrelas.

Exemplos de problemas

Alguns problemas estudados pela mecânica celeste são:

• O problema de um corpo de massa infinitesimal sujeito à atração gravitacional de outro corpo. Este problema tem uma solução fechada, mesmo no caso de três dimensões, porém para resolver a posição do corpo no tempo é preciso resolver uma equação transcendente: a equação de Kepler.
• O problema dos dois corpos: calcular as órbitas de dois corpos (podem ser considerados pontos de massa, ou corpos de raio pequeno com simetria esférica) sujeitos à ação gravitacional. Este problema se reduz ao caso de um corpo.
• O problema dos três corpos: calcular as órbitas de três corpos sujeitos às ações gravitacionais. Este problema, exceto em casos muito especiais, não tem uma solução analítica.
• Campos gravitacionais sem simetria esférica: calcular a órbita de um corpo de massa infinitesimal em um campo gravitacional assimétrico (por exemplo, um satélite orbitando um corpo achatado).

A mecânica celeste mostrou sua eficiência na descoberta do planeta Netuno em 1846 por U. J. de Verrier. Baseados nas perturbações da órbita do planeta Urano, astrônomos puderam calcular a presença de um outro corpo celeste influenciando seu movimento. E lá estava Netuno. Com Plutão não foi diferente. P. Lowel no início do século XX pôde prever a existência do planeta estudando a órbita de Netuno. Em 1930, Plutão foi finalmente descoberto por Clyde Tombaugh.

O modelo de Kepler é heliocêntrico. Seu modelo foi muito criticado pela falta de simetria que constava no fato do Sol ocupar um dos focos da elipse e o outro simplesmente ser preenchido com o vácuo.

O modelo da mecânica celeste de Tycho Brahe é muito curioso, pois ele coloca os planetas orbitando o Sol e este orbitando a Terra, o que o torna ao mesmo tempo geocêntrico e heliocêntrico.

Lei da gravitação universal

Ver artigo principal: Lei da gravitação universal

Um destaque na história da física foi a descoberta, por Isaac Newton, da lei da gravitação universal: todos os objetos se atraem com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre seus centros. Ao definir uma única lei matemática para os fenômenos físicos no universo observável, Newton mostrou que a física terrestre e física celeste são a mesma coisa. O conceito de gravidade poderia, em uma única fórmula:

1. Revelar o significado físico de três leis de Kepler do movimento planetário;
2. Resolver o intrincado problema da origem das marés;
3. Explicar a observação curiosa e inexplicável de Galileu de que o movimento de um objeto em queda é independente de seu peso.

A força centrípeta das órbitas circulares pode ser deduzida a partir da terceira lei de Kepler do movimento planetário e a dinâmica do movimento circular uniforme:

De acordo com a terceira lei de Kepler, o período $P$ é proporcional ao cubo do semieixo maior da elipse. No caso de órbita circular, o semieixo é o próprio raio $r$ e, assim:

$P{^{2}}=kr{^{3}}$

A dinâmica do movimento circular uniforme, nos diz que em uma trajetória circular, a força a ser aplicada ao corpo é o produto de sua massa pela aceleração padrão:

$F={\frac {mv{^{2}}}{r}}$

O tempo (período $P$) que leva um planeta para completar uma volta é a razão entre o comprimento da circunferência e velocidade:

$P={\frac {2~\pi ~r}{v}}$

Encontros espaciais

O objetivo deste programa é enviar uma nave da Terra a Marte e voltar para a Terra seguindo um caminho chamado de semielíptica órbita de transferência de Hohmann. Supõe-se que as órbitas da Terra e Marte são circulares e que as únicas forças na nave espacial são devido à ação do sol, ignorando as influências mútuas entre estes planetas e do navio.

Primeiro, devemos fazer a viagem da Terra a Marte. Observar a magnitude das velocidades angulares dos dois planetas. Qual deve ser a distância angular entre a Terra e Marte no momento do lançamento da nave espacial chega a Marte ? Em que planeta tem que ir em frente?

Uma vez que alcança Marte, fazemos as mesmas perguntas para a viagem de volta para a Terra.

Movimento dos planetas

Movimento dos planetas.

$G{Mm \over r^{2}}=m{v^{2} \over r}\qquad v={\sqrt {GM \over r}}$

Equação da dinâmica do movimento circular uniforme.

Nós assumimos que os planetas Marte e Terra têm órbita circular em torno do Sol. Aplicando a equação da dinâmica do movimento circular uniforme,

Onde:

$m=1,98kg$

$1030$ é a massa solar

$G=6,67.10^{-11}~{\frac {Nm^{2}}{kg^{2}}}$

$r$ é o raio da trajetória circular descrita pelo planeta.

Para a Terra:

$r_{Terra}=1,49\cdot ~10^{11}~m$, de modo que $v_{Terra}=29772,6~{\frac {m}{s}}$

Para Marte:

$r_{Marte}=2,28\cdot 10^{11}~m$, então $v_{Marte}=24067,3~{\frac {m}{s}}$

Órbita de transferência de Hohmann

Encontro do sol e da terra.

${\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}-{\frac {GMm}{r_{1}}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {GMm}{r_{2}}}$

Equação da força de atração.

Assumimos influência insignificante dos planetas no movimento da nave espacial em sua viagem da Terra a Marte. A nave irá descrever uma órbita elíptica com um dos focos no Sol. O periélio é o raio da Terra $r_{1}=1,49\cdot ~10^{11}~m$ e o raio de Marte afélio $r_{2}=2,28\cdot 10^{11}~m$.

Conhecida $r_{Terra}=r_{1}=r_{2}=r_{Marte}$, pode-se determinar a velocidade da espaçonave no periélio e afélio $v_{2}$ é a velocidade de Marte e $v_{1}$ é a velocidade da Terra, aplicando as propriedades da força atrativa.

A força de atração entre a nave e o Sol é central, onde $m$ é o momento angular que permanece constante.

$m~\cdot ~r_{1}~\cdot ~v_{1}~\cdot ~sen~90{\text{º}}=m~\cdot ~r_{2}~\cdot ~v_{2}~\cdot ~sen~90{\text{º}}$

A força de atração é conservadora, a energia total permanece constante

Resolvemos o sistema de duas equações com duas incógnitas, substituindo $v_{1}$ e $v_{2}$:

Dados: $r_{1}=1,49\cdot 10^{11}~m$, e $r_{2}=2,28\cdot 10^{11}~m$,

Resultado: $v_{1}=32742,7~{\frac {m}{s}}$ e $v_{2}=21397,6~{\frac {m}{s}}$

A órbita elíptica que descreve a nave espacial tem:

• semieixo maior $a=\left(r_{1}+r_{2}\right)=1,885\cdot 10^{11}m$;
• excentricidade $e={\frac {\left(r_{2}-r_{1}\right)}{\left(r_{2}+r_{1}\right)}}=0,21$.

Movimento do corpo é uma certa altura acima da nave espacial

Considere primeiro o caso mais simples, o movimento de um corpo está em uma distância $h$ da espaçonave medido ao longo da direção radial e no momento inicial, tem a mesma velocidade. Ele libera o corpo e descobriram que se movem em órbitas diferentes.

Movimento relativo

Vamos considerar dois casos que $h$ é positivo, a altura do corpo é maior do que a nave espacial, e $h$ é negativo, se a altura do corpo é menor que a da nave espacial.

A constância do momento angular e energia do corpo nos permitem calcular a distância máxima ou mínima e $r_{2}$ velocidade $v_{2}$ conhecida a distância mínima ou máxima $r_{1}=r_{0}+h$ de velocidade $v_{1}=v_{0}$.

O sistema Terra-Lua fixo no espaço

Dados do sistema Terra-Lua:

Massa da Terra, $M_{Terra}=5,98\cdot ~10^{24}~kg$

Raio da Terra, $R_{Terra}=6370\cdot ~km=6,37\cdot ~10^{6}~m$

Massa da Lua, $M_{Lua}=7,34\cdot ~10^{22}~kg$

Raio da Lua, $R_{Lua}=1740\cdot ~km=1,74\cdot ~10^{6}~m$

Distância entre a Terra e a Lua, $d=384000\cdot ~km=384,0\cdot ~10^{6}~m$

Ver também

• Leis de Kepler
• Lei da Gravitação Universal

Bibliografia

• LUIZ G. SPOLADORE, MECANICA CELESTE, ARGONIO ISBN 8-560-59902-9
• John E. Prussing, Bruce A. Conway, Orbital Mechanics, Oxford University Press, 1993 ISBN 0-195-07834-9
• Almeida, Ana Cristina, 1963-, ed. lit., Portugal. Biblioteca Nacional, ed. lit., Santos, Manuela, 1955-, ed. lit., CDU: Classificação Decimal Universal: tabela de autoridade, Biblioteca Nacional Portugal, 2005 ISBN 9-725-65395-5
• Paulo Marques dos Santos, Instituto Astronômico e Geofísico da USP: memória sobre sua formação e evolução, EdUSP, 2005 ISBN 8-531-40878-4
• Jan Vrbik, New Methods of Celestial Mechanics, Bentham Science Publishers, 2010 ISBN 1-608-05187-0
• J. M. A. Danby, Fundamentals of Celestial Mechanics, 1992, Willmann-Bell ISBN 0-943-39620-4
• Alessandra Celletti, Ettore Perozzi, Celestial Mechanics: The Waltz of the Planets, 2007, Springer-Praxis, ISBN 0-387-30777-X

Ligações externas

• Dinâmica Celeste
• livros e apostilas
• inpe material de curso