Nó toral

Na teoria dos nós, um nó toral é um tipo especial de nó que pertence a uma superfície de um toro não atada em R³. Da mesma forma, um enlace toral é um enlace que se encontra na superfície de um toro de mesma forma. Cada nó toral é especificado por um par de números inteiros, que são primos entre si p e q. Um enlace toral surge se p e q não são primos entre si (caso em que o número de componentes é o mdc (p, q)). Um nó toral é trivial se, e somente se, ou p ou q é igual a 1 ou -1. O exemplo mais simples de um nó não trivial é a do nó toral (2,3), também conhecido como o nó de trevo.

Nó toral 3-D

EureleA (Um Prêmio em forma de nó toral (2,3)).

Enlace toral(2,8)

Nó toral (2,-3) conhecido como nó de trevo.

Representação geométrica

Um nó toral pode ser composto geometricamente em várias formas que são topologicamente equivalentes, mas geometricamente distintas. A convenção utilizada neste artigo e seus números, é a seguinte.

O nó toral (p,q) sendo q a quantidade de vezes que gira em torno de um círculo no interior do toro, e p a quantidade de vezes que gira em torno de seu eixo de simetria de rotação. Se p e q não são relativamente primos, então temos um toro de vínculo com mais de um componente.

A direção em que os fios do nó enrola em torno do too, também está sujeito a diferentes convenções. O mais comum é fazer com que os fios formem uma forma de parafuso para direita para que p, q > 0..

O nó toral (p,q) pode ser dado pela parametrização

${\begin{aligned}x&=r\cos(p\phi )\\y&=r\sin(p\phi )\\z&=-\sin(q\phi )\end{aligned}}$

onde $r=\cos(q\phi )+2$ e $0<\phi <2\pi$. Esta situa-se na superfície do toro por $(r-2)^{2}+z^{2}=1$ (em coordenadas cilíndricas).

Outras parametrizações também são possíveis, porque os nós são definidos sobre contínuas deformações. As ilustrações do nó toral (2,3) e (3,8) podem ser obtidas tomando-se $r=\cos(q\phi )+4$ e no caso do nó (2,3) subtraindo-se, respectivamente, $3\cos((p-q)\phi )$ e $3\sin((p-q)\phi )$ acima das parametrizações de x e y. O último generaliza-se suavemente para quaisquer primos entre si , p,q satisfazendo $p<q<2p$.

Propriedades

Diagrama de um nó toral (3,-8).

Um nó toral é trivial se, e somente se, ou p ou q é igual a 1 ou-1.

Cada nó toral não trivial é primo e quiral.

O nó toral (p,q) é equivalente ao nó toral (q,p). Isso pode ser comprovado pelo movimento dos fios na superfície do toro, que é muito bem ilustrado «aqui». sketchesoftopology.wordpress.com . O nó (p,−q) é o contrário (imagem espelhada) do nó (p,q). O nó (−p,−q) é equivalente a (p,q), exceto pela inversão da orientação.

O nó toral (3, 4) aberto sobre um superfície do toro

Qualquer nó toral(p,q) pode ser feita a partir de uma trança fechada com p fios. O expressão da trança adequada é

$(\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}.$

O número de cruzamentos de a no nó toral(p,q) com p,q > 0 é dada por

c = min((p−1)q, (q−1)p).

O gênero de um nó toral com p,q > 0 é

$g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).$

O polinômio de Alexander de um nó toral é

${\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}}.$

O polinômio de Jones (destros) do nó toral é dado por

$t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}.$

O complemento de um nó toral na 3-esfera é uma variedade de fibra Seifert, fibrado sobre o disco com duas fibras singulares.

Tomando Y como a concavidade p de um chapéu de burro com um disco removido de seu interior, Z sendo a concavidade q de um chapéu de burro com um disco removido e o seu interior, e X o quociente do espaço obtido através da identificação de Y e Z , ao longo de seu limite de círculo. O complemento do nó de um nó toral (p, q) retrai deformações para o espaço X. Portanto, o grupo de nós de um nó toral tem a seguinte característica:

$\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .$${\displaystyle }$

Nós torais são apenas nós cujo grupos de nó não-triviais do centro (o que é um ciclo infinito, gerado pelo elemento ${\displaystyle }$ na apresentação acima).

O fator de alongamento de um nó toral (p,q) , como uma curva no espaço Euclidiano, é Ω(min(p,q)), para o nó toral que estiver acoplado em fatores de alongamento. O pesquisador John Pardon ganhou em 2012 o prêmio Morgan por sua pesquisa provar este resultado, resolvendo um problema originalmente colocado por Mikhail Gromov.

Ligação de hipersuperfícies complexas

O nó toral (p,q) surge quando considera-se o enlace de uma isolada hipersuperfície complexa singular. Uma intersecção de uma hipersuperfície complexa com uma hiperesfera, centrada no ponto singular isolado, e com o raio suficientemente pequeno para que ele não inclua e nem encontre, quaisquer outros pontos singulares. A intersecção dá uma subvariedade da hiperesfera.

Seja p e q inteiros, primos entre si e maiores ou iguais a dois. Considere a função holomorfa $f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C}$ dada por $f(w,z):=w^{p}+z^{q}.$ Temos $V_{f}\subset \mathbb {C} ^{2}$ sendo o conjunto $(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}$ tal que $f(w,z)=0.$Dado um número real $0<\varepsilon \ll 1,$ definimos o real na 3-esfera $\mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}$ como dado por $|w|^{2}+|z|^{2}=\varepsilon ^{2}.$ A função $f$ tem um ponto crítico isolado em $(0,0)\in \mathbb {C} ^{2}$ visto que $\partial f/\partial w=\partial f/\partial z=0$ se, e somente se $w=z=0.$ Assim, consideramos a estrutura $V_{f}$ fechada em $(0,0)\in \mathbb {C} ^{2}.$ Para fazer isso, consideramos a interseção $V_{f}\cap \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}.$ Essa intersecção é chamada também de enlace de sigularidade $f(w,z)=w^{p}+z^{q}.$ O enlace de $f(w,z)=w^{p}+z^{q}$, onde p e q são primos entre si, e ambos maiores ou iguais a dois, sendo exatamente o nó toral(p, q).

Ver também

• Nó de torção
• Nó de trevo
• Nó figura oito

Ligações externas

• «Renderizador em Actionscript do nó toral». ww17.flexr.org 
• «Divertindo-se com nó toral (p,q)». blackpawn.com