Disjunção lógica

Disjunção, operador ou (em inglês: OR), é uma operação lógica utilizada em lógicas digitais e lógicas matemáticas. Seu operador é o símbolo ∨. Em algumas linguagens de programação, o operador normalmente é uma barra vertical (|), e em outras a disjunção é representada por duas barras verticais (||). Pode ainda ser representada pelo símbolo da soma.^[1] A disjunção está intimamente relacionada com a operação de união de conjuntos.

A disjunção pode também ser exclusiva, o que não se relaciona com este artigo (ver disjunção exclusiva, XOR).

Definição

Em lógica binária, ocorrem apenas dois estados:

Verdadeiro, representado pela letra V, ou pelo número 1.
Falso, representado pela letra F, ou pelo número 0.

A disjunção é uma operação que verifica a seguinte tabela de verdade:


a	b	a ∨ b
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

ou de forma equivalente


a	b	a ∨ b
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Portanto pode ainda ser representada pela soma, que dá o mesmo resultado, se a e b forem 0 ou 1, excepto que se assume também "1+1=1" (ou seja, esta soma disjuntiva tem um significado algébrico de a∨b ≡ a + b - ab).

Outra interpretação é a da lógica fuzzy, que generaliza pela equivalência com o máximo(a,b).

União de conjuntos

A operação de disjunção lógica está ainda relacionada com a união de conjuntos.

Um elemento está na união dos conjuntos quando for verdade que está nalgum deles.^[2]

Segue a representação dessa operação no diagrama de Venn.^[3]

Conjunção semântica

A operação lógica da disjunção funciona de forma semelhante à conjunção semântica ou.

Suponham-se duas frases quaisquer:

a\equiv est{\acute {a}}\ chovendo\ l{\acute {a}}\ fora

b\equiv eu\ estou\ dentro\ de\ casa

a\lor b\equiv (est{\acute {a}}\ chovendo\ l{\acute {a}}\ fora)\ ou\ (eu\ estou\ dentro\ de\ casa)

A disjunção é verdadeira se alguma das frases o for.

No entanto, como a linguagem pode ser ambígua, nem sempre as conjunções semânticas têm este significado matemático: este ou pode significar uma disjunção exclusiva.

Propriedades

A conjunção relaciona dois valores, mas usando o seu resultado podem ser feitas operações com mais valores.

Com uma tabela de verdade pode demonstrar-se a propriedade associativa

((a\lor b)\vee c)\

é igual a

\ (a\lor (b\lor c))

e portanto neste caso basta escrever

a\lor b\lor c

sem necessidade de parentesis, já que o resultado é o mesmo.

A conjunção lógica tem diversas propriedades. Destacam-se:

$a\lor b\equiv b\lor a\quad :$ (comutatividade)
$\left(a\lor b\right)\lor c\equiv a\lor \left(b\lor c\right)\quad :$ (associatividade)
$a\lor b\equiv \neg \left(\neg a\land \neg b\right)\quad :$ (leis de De Morgan)
$a\lor \neg a\equiv 1\quad :$ (universalidade)
$a\lor 0\equiv a\quad :$ (a falsidade é o elemento neutro da disjunção)
$a\lor 1\equiv 1\quad :$ (a verdade é o elemento absorvente da disjunção)