O problema da Sra. Miniver

O problema da Sra. Miniver é um problema de geometria tratando de áreas de círculos. Ele pergunta como colocar dois círculos $A$ e $B$ de raios dados de tal forma que a lente formada pela interseção de seus interiores tenha área igual à diferença simétrica de $A$ e $B$ (a área contida em somente um dos círculos).^[1] Foi nomeado por uma analogia entre a geometria e a dinâmica social enunciada pela personagem fictícia Sra. Miniver, que "via cada relacionamento como um par de círculos que se cruzam". Sua solução envolve uma equação transcendental.

Origem

O problema surgiu no "A Country House Visit", um dos artigos de Jan Struther publicados no The Times entre 1937 e 1939, apresentando sua personagem, Sra. Miniver. De acordo com a história:

Ela via cada relacionamento como um par de círculos que se sobrepunham. À primeira vista, parece que quanto maior a sobreposição, melhor é o relacionamento; mas não é assim. Além de um certo ponto, a lei dos rendimentos decrescentes se estabelece, e não há recursos privados suficientes deixados em nenhum dos lados para enriquecer a vida que é compartilhada. Provavelmente a perfeição é alcançada quando a área dos dois crescentes externos, somados, é exatamente igual à da peça em forma de folha no meio. No papel deve haver alguma fórmula matemática clara para se chegar a isso; na vida, nenhum.^[2]

Louis A. Graham e Clifton Fadiman formalizaram a matemática do problema e a popularizaram entre os matemáticos recreativos.^[1]^[3]

Solução

O problema pode ser resolvido cortando a lúnula ao longo do segmento de linha entre os dois pontos de interseção dos círculos, em dois segmentos circulares, e usando a fórmula da área de um segmento circular para relacionar a distância entre os pontos de interseção com a área total que o problema exige que a lúnula tenha. Isso fornece uma equação transcendental para a distância entre os pontos de cruzamento, mas pode ser resolvida numericamente.^[1]^[4] Existem duas condições de contorno cujas distâncias entre os centros podem ser prontamente resolvidas: o mais distante que os centros podem estar é quando os círculos têm raios iguais, e o mais próximo que eles podem estar é quando um círculo está contido completamente dentro do outro, o que acontece quando a razão entre os raios é ${\sqrt {2}}$ . Se a proporção de raios cair além desses casos limites, os círculos não poderão satisfazer a restrição de área do problema.^[4]

No caso de dois círculos de tamanho igual, essas equações podem ser um pouco simplificadas. O losango formado pelos dois centros do círculo e os dois pontos de interseção, com comprimentos de lado iguais ao raio, tem um ângulo $\theta \approx 2.605$ radianos nos centros dos círculos, encontrados resolvendo a equação: $\theta -\sin \theta ={\frac {2\pi }{3}},$ do que se segue que a razão entre a distância entre seus centros e seus raios é $2\cos {\tfrac {\theta }{2}}\approx 0.529864$ .^[4]

Ver também

Problema de pastejo interior, outro problema de equalização das áreas de lúnulas e lentes circulares

Referências

↑ ^a ^b ^c Graham, Louis A. (1959), «3: Mrs. Miniver's problem», Ingenious Mathematical Problems and Methods, ISBN 978-0-486-28293-0, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, pp. 64–66
↑ Struther, Jan, «A Country House Visit», Mrs. Miniver, University of Pennsylvania, consultado em 10 de março de 2022 . Originalmente publicado como parte de uma série de colunas no The Times, em 1937, e no livro Mrs. Miniver, Chatto and Windus, London, 1939.
↑ Fadiman, Clifton (1962), «The Miniver problem», The Mathematical Magpie, Simon & Schuster, pp. 298–300
↑ ^a ^b ^c Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2011), «11.8: Mrs. Miniver's problem», Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, ISBN 978-1-4704-5616-0, Dolciani Mathematical Expositions, 56, American Mathematical Society, pp. 141–142

[ingenious-1] Graham, Louis A. (1959), «3: Mrs. Miniver's problem», Ingenious Mathematical Problems and Methods, ISBN 978-0-486-28293-0, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, pp. 64–66

[struther-2] Struther, Jan, «A Country House Visit», Mrs. Miniver, University of Pennsylvania, consultado em 10 de março de 2022 . Originalmente publicado como parte de uma série de colunas no The Times, em 1937, e no livro Mrs. Miniver, Chatto and Windus, London, 1939.

[magpie-3] Fadiman, Clifton (1962), «The Miniver problem», The Mathematical Magpie, Simon & Schuster, pp. 298–300

[icons-4] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2011), «11.8: Mrs. Miniver's problem», Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, ISBN 978-1-4704-5616-0, Dolciani Mathematical Expositions, 56, American Mathematical Society, pp. 141–142

[1]

[2]

[3]

[4]