Em matemática , um operador de diferença transforma uma função
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
+
a
)
−
f
(
x
+
b
)
{\displaystyle f(x+a)-f(x+b)}
[ 1]
O operador de diferença anterior
Δ
f
(
x
)
=
f
(
x
+
1
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}
ocorre freqüentemente no cálculo de diferenças finitas , onde ele desempenha um papel formalmente similar àquele da derivada , mas utilizado em circunstâncias distintas. As equações de diferença podem freqüentemente serem resolvidas com técnicas muito similares àquelas para resolver equações diferenciais .
Analogamente, existe o operador de diferença posterior
∇
f
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
−
1
)
.
{\displaystyle \nabla f(x)=f(x)-f(x-1).}
Quando restrito às funções polinomiais
f
{\displaystyle f}
operador delta , i.e., um operador linear sobre polinômios que reduz o grau por 1.
A diferença anterior enésima de uma função
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[ 1]
[
Δ
n
f
]
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
n
−
k
f
(
x
+
k
)
{\displaystyle [\Delta ^{n}f](x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{n-k}f(x+k)}
onde
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
coeficiente binomial . Diferenças anteriores aplicadas a uma seqüência são algumas vezes chamadas de transformada binomial da seqüência, e, como tal, tem um número de propriedades combinatórias interessantes.
Diferenças anteriores podem ser estimadas usando a integral Nörlund-Rice . A representação integral para estes tipos de séries é interessante porque o integral pode freqüentemente ser estimado usando expansão assintótica ou técnicas de ponto de sela ; para contrastar, a série de diferença anterior pode ser extremamente difícil para estimar numericamente, porque os coeficientes binomiais crescem rapidamente para
n
{\displaystyle n}
A série de Newton ou equação da diferença anterior de Newton , que recebe esse nome devido a Isaac Newton , é o relacionamento[ 1]
f
(
x
+
a
)
=
∑
k
=
0
∞
[
Δ
k
f
]
(
a
)
k
!
(
x
)
k
=
∑
k
=
0
∞
(
x
k
)
[
Δ
k
f
]
(
a
)
{\displaystyle f(x+a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {[\Delta ^{k}f](a)}{k!}}(x)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{x \choose k}[\Delta ^{k}f](a)}
que serve para qualquer função polinomial
f
{\displaystyle f}
funções analíticas . Aqui,
(
x
k
)
{\displaystyle {x \choose k}}
é o coeficiente binomial , e
(
x
)
k
=
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
k
+
1
)
{\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}
é o "Símbolo de Pochhammer " ou "fatorial menor" e o produto vazio (x )0 definido para ser 1. Note também a similaridade formal deste resultado com o teorema de Taylor ; esta é uma das observações que levam à ideia de cálculo umbral .
Em análise com números p-ádicos , o teorema de Mahler afirma que a suposição que
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
O teorema de Carlson provê as condições necessárias e suficientes para uma série de Newton ser única, se ela existe. Porém, uma série de Newton no geral não existirá.
A série de Newton , junto com a série de Stirling e a série de Selberg , é um caso especial da geral série de diferença , todas quais são definidas em termos de diferenças anteriores escaladas.
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Definimos operador diferenças divididas por[ 2] [ 3]
{
f
[
x
0
]
=
f
(
x
0
)
,
Ordem 0
f
[
x
0
,
x
1
]
=
f
[
x
1
]
−
f
[
x
0
]
x
1
−
x
0
=
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
x
1
−
x
0
Ordem 1
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
]
=
f
[
x
1
,
x
2
]
−
f
[
x
0
,
x
1
]
x
2
−
x
0
,
Ordem 2
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
]
=
f
[
x
1
,
x
2
,
x
3
]
−
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
]
x
3
−
x
0
,
Ordem 3
⋮
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
]
=
f
[
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
]
−
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
−
1
]
x
n
−
x
0
,
Ordem n
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f[x_{0}]=f(x_{0}),&{\mbox{Ordem 0}}\\f[x_{0},x_{1}]={\frac {f[x_{1}]-f[x_{0}]}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}&{\mbox{Ordem 1 }}\\f[x_{0},x_{1},x_{2}]={\frac {f[x_{1},x_{2}]-f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}}},&{\mbox{Ordem 2}}\\f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]={\frac {f[x_{1},x_{2},x_{3}]-f[x_{0},x_{1},x_{2}]}{x_{3}-x_{0}}},&{\mbox{Ordem 3}}\\\vdots &\\f[x_{0},x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{n}]={\frac {f[x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{n}]-f[x_{0},x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{n-1}]}{x_{n}-x_{0}}},&{\mbox{Ordem n}}\end{matrix}}\right.}
Afirmamos que
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
k
]
{\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{k}]}
diferença dividida de ordem
k
{\displaystyle k}
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
x
0
,
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
k
{\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{k}}
x
Ordem 0
Ordem 1
Ordem 2
Ordem 3
⋯
Ordem n
x
0
f
[
x
0
]
f
[
x
0
,
x
1
]
x
1
f
[
x
1
]
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
]
f
[
x
1
,
x
2
]
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
]
x
2
f
[
x
2
]
f
[
x
1
,
x
2
,
x
3
]
f
[
x
2
,
x
3
]
f
[
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
]
x
3
f
[
x
3
]
f
[
x
2
,
x
3
,
x
4
]
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
]
f
[
x
3
,
x
4
]
⋮
x
4
f
[
x
4
]
⋮
f
[
x
n
−
3
,
x
n
−
2
,
x
n
−
1
,
x
n
]
⋮
⋮
f
[
x
n
−
2
,
x
n
−
1
,
x
n
]
f
[
x
n
−
1
,
x
n
]
x
n
f
[
x
n
]
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccccc}x&{\mbox{Ordem 0}}&{\mbox{Ordem 1}}&{\mbox{Ordem 2}}&{\mbox{Ordem 3}}&\dotsb &{\mbox{Ordem n}}\\\hline x_{0}&f[x_{0}]&&&&&\\&&f[x_{0},x_{1}]&&&&\\x_{1}&f[x_{1}]&&f[x_{0},x_{1},x_{2}]&&&\\&&f[x_{1},x_{2}]&&f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]&&\\x_{2}&f[x_{2}]&&f[x_{1},x_{2},x_{3}]&&&\\&&f[x_{2},x_{3}]&&f[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]&&\\x_{3}&f[x_{3}]&&f[x_{2},x_{3},x_{4}]&&&f[x_{0},x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{n}]\\&&f[x_{3},x_{4}]&&\vdots &&\\x_{4}&f[x_{4}]&&\vdots &&&\\&&&&f[x_{n-3},x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]&&\\\vdots &\vdots &&f[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]&&&\\&&f[x_{n-1},x_{n}]&&&&\\x_{n}&f[x_{n}]&&&&&\end{array}}}
x
−
1
0
1
2
3
f
(
x
)
1
1
0
−
1
−
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}x&-1&0&1&2&3\\\hline f(x)&1&1&0&-1&-2\end{array}}}
A diferença dividida é:[ 2]
x
Ordem 0
Ordem 1
Ordem 2
Ordem 3
Ordem 4
−
1
1
0
0
1
−
1
2
−
1
1
6
1
0
0
−
1
24
−
1
0
2
−
1
0
−
1
3
−
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccccc}x&{\mbox{Ordem 0}}&{\mbox{Ordem 1}}&{\mbox{Ordem 2}}&{\mbox{Ordem 3}}&{\mbox{Ordem 4}}\\\hline -1&1&&&&\\&&0&&&\\0&1&&-{\frac {1}{2}}&&\\&&-1&&{\frac {1}{6}}&\\1&0&&0&&-{\frac {1}{24}}\\&&-1&&0&\\2&-1&&0&&\\&&-1&&&\\3&-2&&&&\end{array}}}
Como Obtemos esses valores
f
[
x
0
,
x
1
]
=
f
[
x
1
]
−
f
[
x
0
]
x
1
−
x
0
=
1
−
1
0
−
(
−
1
)
=
0
{\displaystyle f[x_{0},x_{1}]={\frac {f[x_{1}]-f[x_{0}]}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {1-1}{0-(-1)}}=0}
f
[
x
1
,
x
2
]
=
f
[
x
2
]
−
f
[
x
1
]
x
2
−
x
1
=
0
−
1
1
−
0
=
−
1
{\displaystyle f[x_{1},x_{2}]={\frac {f[x_{2}]-f[x_{1}]}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {0-1}{1-0}}=-1}
⋮
{\displaystyle \vdots }
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
]
=
f
[
x
1
,
x
2
]
−
f
[
x
0
,
x
1
]
x
2
−
x
0
=
−
1
−
0
1
−
(
−
1
)
=
−
1
2
{\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{2}]={\frac {f[x_{1},x_{2}]-f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {-1-0}{1-(-1)}}={\frac {-1}{2}}}
f
[
x
1
,
x
2
,
x
3
]
=
f
[
x
2
,
x
3
]
−
f
[
x
1
,
x
2
]
x
3
−
x
1
=
−
1
−
(
−
1
)
2
−
0
=
0
{\displaystyle f[x_{1},x_{2},x_{3}]={\frac {f[x_{2},x_{3}]-f[x_{1},x_{2}]}{x_{3}-x_{1}}}={\frac {-1-(-1)}{2-0}}=0}
⋮
{\displaystyle \vdots }
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
]
=
f
[
x
1
,
x
2
,
x
3
]
−
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
]
x
3
−
x
0
=
0
−
(
−
1
2
)
2
−
(
−
1
)
=
1
6
{\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]={\frac {f[x_{1},x_{2},x_{3}]-f[x_{0},x_{1},x_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}={\frac {0-({\frac {-1}{2}})}{2-(-1)}}={\frac {1}{6}}}
=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{n-k}f(x+k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14523a104ef89dec03804313399760ff7fa3cea0)
}{k!}}(x)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{x \choose k}[\Delta ^{k}f](a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abcf7b49ec7ac9fca36e3d37c599d0af83576749)
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f[x_{0}]=f(x_{0}),&{\mbox{Ordem 0}}\\f[x_{0},x_{1}]={\frac {f[x_{1}]-f[x_{0}]}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}&{\mbox{Ordem 1 }}\\f[x_{0},x_{1},x_{2}]={\frac {f[x_{1},x_{2}]-f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}}},&{\mbox{Ordem 2}}\\f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]={\frac {f[x_{1},x_{2},x_{3}]-f[x_{0},x_{1},x_{2}]}{x_{3}-x_{0}}},&{\mbox{Ordem 3}}\\\vdots &\\f[x_{0},x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{n}]={\frac {f[x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{n}]-f[x_{0},x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{n-1}]}{x_{n}-x_{0}}},&{\mbox{Ordem n}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62557862338b74c8a2c1b3a50d19706d6621f901)
![{\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd5dc202fe5ebf3b1b7763430745b9f8f7758af0)
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cccccc}x&{\mbox{Ordem 0}}&{\mbox{Ordem 1}}&{\mbox{Ordem 2}}&{\mbox{Ordem 3}}&\dotsb &{\mbox{Ordem n}}\\\hline x_{0}&f[x_{0}]&&&&&\\&&f[x_{0},x_{1}]&&&&\\x_{1}&f[x_{1}]&&f[x_{0},x_{1},x_{2}]&&&\\&&f[x_{1},x_{2}]&&f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]&&\\x_{2}&f[x_{2}]&&f[x_{1},x_{2},x_{3}]&&&\\&&f[x_{2},x_{3}]&&f[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]&&\\x_{3}&f[x_{3}]&&f[x_{2},x_{3},x_{4}]&&&f[x_{0},x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{n}]\\&&f[x_{3},x_{4}]&&\vdots &&\\x_{4}&f[x_{4}]&&\vdots &&&\\&&&&f[x_{n-3},x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]&&\\\vdots &\vdots &&f[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]&&&\\&&f[x_{n-1},x_{n}]&&&&\\x_{n}&f[x_{n}]&&&&&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3d9934a1bc1e38e240387b3342f7d9d754679d)
![{\displaystyle f[x_{0},x_{1}]={\frac {f[x_{1}]-f[x_{0}]}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {1-1}{0-(-1)}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6aef9531c880fe6d22e6f00c1a17d0cb64241f)
![{\displaystyle f[x_{1},x_{2}]={\frac {f[x_{2}]-f[x_{1}]}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {0-1}{1-0}}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de24b5f68b685e5f7656c98b3996e7337b3e4e7)
![{\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{2}]={\frac {f[x_{1},x_{2}]-f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {-1-0}{1-(-1)}}={\frac {-1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2164038492fb82b818c7998f244a95f533fde60)
![{\displaystyle f[x_{1},x_{2},x_{3}]={\frac {f[x_{2},x_{3}]-f[x_{1},x_{2}]}{x_{3}-x_{1}}}={\frac {-1-(-1)}{2-0}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81165749e874deb09b8b86502de052b43d0bea4)
![{\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]={\frac {f[x_{1},x_{2},x_{3}]-f[x_{0},x_{1},x_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}={\frac {0-({\frac {-1}{2}})}{2-(-1)}}={\frac {1}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49eb616d0fcaa7f3bba58691d186fab3b1aaa24)
