Ponto de Gergonne

O ponto de Gergonne de um triângulo é um ponto notável no interior de um triângulo. A denominação é um reconhecimento ao matemático francês Joseph Diez Gergonne.

Círculo inscrito

O círculo inscrito do triângulo $ABC$ tem centro $M$ e toca os lados do triângulo nos pontos $X$, $Y$ e $Z$. Gergonne mostrou que as linhas de conexão entre estes pontos de contato e o vértice oposto do triângulo cruzam-se em um ponto, o ponto de Gergonne $G$.

Que essas linhas se cruzam em um ponto segue-se de ${\overline {AZ}}={\overline {AY}}$, etc., e do teorema de Ceva.

Propriedades

• O ponto de Gergonne encontra-se em uma linha reta com o centro de gravidade e o ponto médio (nesta ordem).
• O ponto de Gergonne e o ponto de Nagel são conjugados isotômicos.

Coordenadas

Gergonne-Punkt ($X_{7}$)
Coordenadas trilineares	${\frac {bc}{b+c-a}}\,:\,{\frac {ca}{c+a-b}}\,:\,{\frac {ab}{a+b-c}}$ $=\sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\beta }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\gamma }{2}}$
Coordenadas baricêntricas	${\frac {1}{b+c-a}}\,:\,{\frac {1}{c+a-b}}\,:\,{\frac {1}{a+b-c}}$

Ver também

• Círculos inscrito e exinscrito em um triângulo

Bibliografia

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, p. 230–233

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Gergonne Point». MathWorld (em inglês)