Regra de três composta

A regra de três composta, na matemática, é uma forma de se descobrir valores de grandezas a partir de outros valores já existentes. Um modelo reduzido deste método é a regra de três simples, utilizada quando a comparação se dá apenas entre três valores. A regra de três composta é utilizada quando se quer descobrir um único valor a partir de três, cinco ou mais valores já conhecidos, e tendo em conta que os valores referentes a uma mesma classe de objeto têm de estar na mesma unidade de medida.^[1]

Exemplos práticos

Na análise de como iremos resolver um problema por meio da regra de três composta, deve-se levar em conta se as grandezas relacionadas são diretamente ou inversamente proporcionais. Vejamos a seguir como na prática estas duas situações se comportam.

Exemplo 1

Temos o seguinte enunciado: "O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 50 operários para fazer 10 estantes em 5 dias, mas sabendo ele que para fazer as estantes tem apenas dois dias, de quantos operários vai precisar?". Para resolver este problema adotaremos a seguinte lógica:

a) Vamos elaborar um esquema onde "x" é a incógnita.

Estantes	Operários	Dias
10	50	5
10	x	2

b) Se diminuirmos ( ↓ ) o número de operários, fazem-se mais ( ↑ ) ou menos ( ↓ ) estantes? Caso tenha respondido que fazem-se menos ( ↓ ), você acertou! Agora vamos assinalar no quadro.

Estantes	Operários
10	50
↓	↓
10	x

c) Se diminuirmos ( ↓ ) o número de operários, precisa-se de mais ( ↑ ) ou menos ( ↓ ) dias? Claro que é mais ( ↑ ). Vamos assinalar no quadro.

Operários	Dias
50	5
↓	↑
x	2

d) O quadro final e completo fica assim.

Estantes	Operários	Dias
10	50	5
↓	↓	↑
10	x	2

e) Vamos criar e resolver a equação.

{\frac {50}{x}}={\frac {10}{10}}\times {\frac {2}{5}}

Atenção que o número de dias foi invertido porque se trata de uma grandeza inversamente proporcional.

Fazendo as contas:

{\frac {50}{x}}={\frac {2}{5}}

x={\frac {50\times 5}{2}}

x=125

A carpintaria precisará de 125 operários.

Exemplo 2

Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m³ de areia. em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m³?

Horas	Caminhões	Areia em m³
8	20	160
5	x	125

Sempre onde estiver x a seta é para baixo, ou seja, diretamente proporcional. Ela pode estar em qualquer posição ou lugar. Sempre a seta é para baixo. Ficará assim:

a) Quanto menos caminhões houver, então, mais horas necessárias; portanto, Inversamente Proporcional (↑);
b) Quanto menos caminhões houver, então, menos o volume descarregado; portanto, Diretamente Proporcional (↓).

Horas	Caminhões	Volume
8	20	160
↑	↓	↓
5	x	125

Fazendo os cálculos:

{\frac {20}{x}}={\frac {5}{8}}\times {\frac {160}{125}}

{\frac {20}{x}}={\frac {8}{10}}

x={\frac {20\times 10}{8}}

X = 25 caminhões

Transformando regra de três composta em regra de três simples

Uma maneira fácil, sem precisar decorar regras, de resolver uma regra de três composta é transformá-la em regra de três simples, tomando o cuidado de usar o que for diretamente proporcional.

Por exemplo

A quantidade de dias é inversamente proporcional à quantidade de operários;
A quantidade de estantes é diretamente proporcional à quantidade de operários.

Então, não se deve armar a regra de três simples com a quantidade de dias;

Deve-se armar a regra de três simples com a quantidade de estantes fabricadas por dia.

Exemplo:

O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 40 operários para fazer 10 estantes em 5 dias. Quantas estantes ele fabricará em oito dias, sabendo ele que só poderá usar 30 empregados?

Solução:

Os 40 operários produzem ${\frac {10}{5}}=2$ estantes por dia.