Relação antissimétrica

 Nota: Não confundir com Relação assimétrica

Em matemática, uma relação antissimétrica é uma relação binária $R$ em um conjunto $X$ quando não há um par de elementos distintos de $X$, cada um deles relacionado por $R$ ao outro. Mais formalmente, $R$ é antissimétrica precisamente se para todos $a$ e $b$ em $X$

se $R(a,b)$ com $a\neq b$, então $R(b,a)$ não deve existir

ou equivalente,

se $R(a,b)$ e $R(b,a)$, então $a=b$.

em fórmula lógica, temos:

$\left(a,b\right)\in R\land \left(b,a\right)\in R\to \left(a,b\right)=\left(b,a\right)\iff a=b$

(A definição de antissimetria não diz nada sobre se $R(a,a)$ realmente é válido ou não para qualquer $a$).

A relação de divisibilidade nos números naturais é um exemplo importante de uma relação antissimétrica. Neste contexto, antissimetria significa que a única forma de cada um dos dois números poder ser divisível pelo outro é se os dois são, de fato, o mesmo número; equivalentemente, se $n$ e $m$ são distintos e $n$ é um fator de $m$, então $m$ não pode ser um fator de $n$. Por exemplo, 12 é divisível por 4, mas 4 não é divisível por 12.

A relação usual de ordem $\leq$ nos números reais é antissimétrica: se para dois números reais $x$ e $y$ ambas as desigualdades $x\leq y$ e $y\leq x$, então $x$ e $y$ devem ser iguais. Similarmente, a ordem de subconjunto $\subseteq$ nos subconjuntos de qualquer conjunto dado é antissimétrica: dado dois conjuntos $A$ e $B$, se todo elemento em $A$ também estiver em $B$ e todo elemento em $B$ também estiver em $A$, então $A$ e $B$ devem conter os mesmos elementos e, portanto, ser iguais:

$A\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow A=B$

Ordens parciais e totais são antissimétricas por definição. Uma relação pode ser simétrica e antissimétrica (por exemplo, a relação de igualdade), e existem relações que não são nem simétricas nem antissimétricas (por exemplo, a relação "preda sobre" em espécies biológicas).

A antissimetria é diferente da assimetria, o que requer tanto antissimetria quanto irreflexividade. Assim, toda relação assimétrica é antissimétrica, mas o inverso é falso.

Ver também

• Relação simétrica
• Relação assimétrica
• Simetria

Referências

• Weisstein, Eric W. «Antisymmetric Relation». MathWorld (em inglês) 
• Lipschutz, Seymour; Marc Lars Lipson (1997). Theory and Problems of Discrete Mathematics. [S.l.]: McGraw-Hill. p. 33. ISBN 0-07-038045-7 
• nLab antisymmetric relation
• Scheinerman, Edward R. (2011). Matemática discreta : uma introdução. São Paulo (SP): Cengage Learning. ISBN 9788522107964. OCLC 817274526