Representação de Schrödinger

Na mecânica quântica, uma função de estado é uma combinação linear (uma superposição) de valor próprio. Numa Representação de Schrödinger, o estado de um sistema evolui com o tempo, onde a evolução para um sistema quântico fechado é provocada por operador unitário chamado de operador da evolução temporal. Isto difere de uma Representação de Heisenberg onde os estados são constantes enquanto os observáveis evoluem com o tempo. As estatísticas de medição são as mesmas em ambas as representações.

O operador de evolução temporal

Definição

O operador de evolução temporal U(t,t₀) é definido como:

|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle

Isto é, quando este operador está agindo no estado "ket" em t₀ no dá o estado "ket" em um tempo t. Para "bras", nós temos:

\langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})

Propriedades

Primeira propriedade

A operador da evolução temporal deve ser unitário. Isto é necessário porque nós precisamos que a norma do estado "ket" não mude com o tempo. Isto é,

\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle

Em consequência disto,

U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I(U(t,t_{0})).

Segunda propriedade

Distintamente U(t₀,t₀) = I, a função identidade. Como:

|\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle

Terceira propriedade

A evolução temporal de t₀ para t pode ser vista como a evolução temporal de t₀ para um tempo t₁ indeterminado e de t₁ para o tempo final t. Então conclui-se:

U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})\!

Equação diferencial para o operador da evolução temporal

Se dermos, por convenção, o índice t₀ no operador da evolução temporal de forma que t₀ = 0 e escrevermos isto com U(t). A Equação de Schrödinger pode ser re-escrita da seguinte forma:

i\hbar {d \over dt}U(t)|\psi _{e}(0)\rangle =HU(t)|\psi _{e}(0)\rangle

Onde H é o Hamiltoniano para o sistema. Como $|\psi (0)\rangle$ é uma constante de ket (o estado ket é da forma t = 0), nós vemos que o operador da evolução temporal obedece a Equação de Schrödinger:

i\hbar {d \over dt}U(t)=HU(t)

Se o hamiltoniano independe do tempo, a solução da equação acima será:

U(t)=e^{-iHt/\hbar }.

Onde nós também usamos o facto que t = 0, U(t) precisa reduzir para a função identidade. Assim obteremos:

|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.

Perceba que $|\psi (0)\rangle$ é um ket arbitrário. Apesar de que, se o ket inicial é um valor próprio do hamiltoniano, com o valor próprio E, nós temos:

|\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle \,.

Assim, vemos que os valores próprios do hamiltoniano são estados estacionários, eles apenas escolhem um fator de fase global já que eles evoluem com o tempo. Se o hamiltoniano é dependente do tempo, mas os hamiltonianos de diferentes tempo comutam, então o operador da evolução temporal pode ser escrito da forma:

U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t^{'})\,dt^{'}}\right)\,.

Uma alternativa para a Representação de Schrödinger é trocar para uma rotação de referências de quadros, que seja rotacionada pelo propagador do movimento. Desde que a rotação ondulatória seja agora assumida pelo próprio referencial, uma função de estados não perturbados surge para ser verdadeiramente estáticos.

Ver também

Leitura recomendada

Principles of Quantum Mechanics by R. Shankar, Plenum Press. (em inglês)