Reticulado

Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em álgebra, um reticulado é uma estrutura L = (L, R) tal que L é parcialmente ordenado por R e para cada dois elementos a, b de L existe supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior) de {a,b}.

Reticulados como estruturas algébricas

De maneira equivalente, um reticulado pode ser definido como uma estrutura algébrica. Uma estrutura algébrica (L, $\lor ,\land$ ), consistindo de um conjunto L e duas operações $\lor$ , e $\land$ , sobre L é um reticulado se para todos os elementos a, b, c de L valem as seguintes equações, que podem ser vistas como axiomas da teoria dos reticulados.

Leis Comutativas: $a\lor b=b\lor a$ ,; $a\land b=b\land a$ .

Leis Associativas: $a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c$ ,; $a\land (b\land c)=(a\land b)\land c$ .

Lei de Absorção: $a\lor (a\land b)=a$ ,; $a\land (a\lor b)=a$ .

As identidades seguintes as vezes também são vistas como axiomas, apesar de poder ser facilmente deduzidas usando as duas leis de absorção.^[1]

Leis de Idempotência: $a\lor a=a$ ,; $a\land a=a$ .

Exemplos

Seja $A^{\,}$ um conjunto não vazio e ${\mathcal {P}}\left(A^{\,}\right)$ o conjunto potência ou conjunto das partes de $A^{\,}$ . Além disso, seja $\subseteq ^{\,}$ a relação de inclusão de conjuntos. Então $\left\langle {\mathcal {P}}\left(A\right),\subseteq \right\rangle$ é um reticulado no qual o supremo está representado pela união de conjuntos e o ínfimo pela interseção.

Seja $\left\langle A,\leq \right\rangle$ um conjunto totalmente ordenado, isto é, $\leq ^{\,}$ é uma relação de ordem total. O supremo de dois elementos é o maior deles e o ínfimo é o menor.

Semirreticulados

Um semirreticulado superior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe supremo para quaisquer dois elementos a,b.
Um semirreticulado inferior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe ínfimo para quaisquer dois elementos a,b.

Referências

↑ $a\lor a=a\lor (a\land (a\lor a))=a$ , and dually for the other idempotent law. Dedekind, Richard (1897), «Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler», Braunschweiger Festschrift: 1–40 .

Bibliografia

BIRKHOFF, Garrett (1948). Lattice Theory (em inglês). New York: American Mathematical Society

DAVEY, B.A.; PRIESTLEY, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (em inglês) 2nd. ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1

ROMAN, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (em inglês). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2

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[1] $a\lor a=a\lor (a\land (a\lor a))=a$ , and dually for the other idempotent law. Dedekind, Richard (1897), «Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler», Braunschweiger Festschrift: 1–40 .

[1]