Série dos inversos dos primos

Em matemática, a série dos inversos dos primos é a série numérica cujos termos são os inversos dos números primos:

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\ldots \,$

O matemático suíço Leonhard Euler demonstrou, no século XVIII que esta série é divergente.

Demonstração

Uma versão moderna da prova original de Euler pode ser feita como a seguir:

Defina o conjunto $E_{k}\,$ cujos elementos são todos os números naturais positivos divisíveis apenas pelos k primeiros números primos. Defina também $S_{k}\,$ como a soma dos inversos dos elementos de $E_{k}\,$, assim:

$S_{0}=1\,$

$S_{1}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\ldots \,$

$S_{2}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2.3}}+{\frac {1}{3^{2}}}\ldots \,$

É possível mostrar por indução que:

$S_{k}=\left(1+{\frac {1}{p_{k}}}+{\frac {1}{p_{k}^{2}}}+{\frac {1}{p_{k}^{3}}}+\ldots \right)S_{k-1},~~k\geq 2\,$

Usando a série geométrica, temos:

$S_{k}={\frac {1}{1-p_{k}^{-1}}}S_{k-1},~~k\geq 2\,$

E, portanto:

$S_{k}=\left({\frac {1}{1-p_{k}^{-1}}}\right)\left({\frac {1}{1-p_{k-1}^{-1}}}\right)\cdots \left({\frac {1}{1-p_{1}^{-1}}}\right)=\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\,$

tomando logaritmos, temos:

$\ln S_{k}=-\sum _{i=1}^{k}\ln \left(1-p_{i}^{-1}\right)\,$

Usamos a série de Taylor para o logarítmo:

$-\ln(1-p_{i}^{-1})={\frac {1}{p_{i}}}+{\frac {1}{2p_{i}^{2}}}+{\frac {1}{3p_{i}^{3}}}+\ldots \,$

assim:

${\begin{array}{lcl}\ln S_{k}&=&\sum _{i=1}^{k}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{np_{i}^{n}}}\\&=&\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=2}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{2}}}\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{np_{i}^{n-2}}}\\&\leq &\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=2}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{2}}}\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}^{n-2}}}\\&=&\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=2}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{2}-p_{i}}}\\\end{array}}$

Observamos que:

$\sum _{i=2}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{2}-p_{i}}}\leq \sum _{i=2}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}-i}}=\sum _{i=2}^{\infty }\left({\frac {1}{i-1}}-{\frac {1}{i}}\right)=1$

e também que:

$S_{k}\geq \sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{k}}\geq \ln k$

E finalmente:

$\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}\geq \ln \left(\ln k-1\right)$

E o resultado segue dado que $\ln \ln k\to \infty \,$ quando $k\to \infty \,$

Outra demonstração

Esta prova é atribuída ao matemático húngaro Paul Erdős.

Suponha por absurdo que a série seja convergente. Então existe um número natural $k\,$ tal que:

$\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\,$

Defina o conjunto $S(x)\,$ formado pelos números naturais inferiores ou iguais a x que são divisíveis apenas pelos primos $2,3,5,\ldots ,p_{k}\,$:

$S(x)=\left\{n\in \mathbb {N} :n\leq x\land p_{i}\nmid n,~~\forall i>k\right\}$

E defina a função $N(x)\,$ como o número de elementos em $S(x)\,$.

A prova consiste em estabelecer valores máximos e mínimos para N(x) e observar uma contradição para valores altos de x.

Proposição 1: $N(x)\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\,$

Todo número inteiro pode ser escrito na forma $p=qm^{2}\,$, onde q é um Inteiro sem fator quadrático. Os elementos $p\in S(x)\,$ só podem ter, como fatores primos, os primos $p_{1},p_{2},\ldots p_{k}\,$, portanto o número q é da seguinte forma:

$q={p_{1}}^{e_{1}}{p_{2}}^{e_{2}}\ldots {p_{k}}^{e_{k}}\,$

onde os expoentes $e_{i}\,$ valem 0 ou 1. Existem, portanto, no máximo, $2^{k}\,$ possibilidades para o valor do número q. Como m² ≤ x, temos que existem no máximo ${\sqrt {x}}\,$ possibilidades para m. Assim, por análise combinatória, temos uma quota superior para N(x).

Proposição 2: $N(x)>{\frac {x}{2}}\,$

O complemento do conjunto S(x) no conjunto {1, 2, ..., x} tem x - N(x) elementos. Cada elemento deste conjunto deve ser divisível por algum primo p_i, com i > k.

Mas a quantidade de números inteiros nesta faixa que é divisivel por um primo $p_{i}\,$ é inferior a ${\frac {x}{p_{i}}}\,$.

Portanto, temos a a estimativa:

$x-N(x)\leq \sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {x}{p_{i}}}=x\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {x}{2}}\,$

ou, simplificando:

$N(x)>{\frac {x}{2}}\,$

E vemos que, para x grande, as duas proposições se contradizem, o que completa a demonstração.

Teorema de Brun

Viggo Brun, em 1919, demonstrou que a série dos recíprocos dos primos gêmeos converge. Esta série gera o número denominado de constante de Brun.

$B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots \approx 1,9021605823.$

Observe cuidadosamente que ainda é um problema em aberto a existência de infinitos primos gêmeos. O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente.