Semelhança de triângulos é um tipo de relação que é estabelecida entre triângulos quando eles possuem os lados proporcionais e os ângulos congruentes.[ 1]
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.[ 2]
Sendo que dois lados homólogos (homo=mesmo, logos=lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes.
△
A
B
C
∼
△
A
′
B
′
C
′
⟺
(
A
^
≡
A
′
^
B
^
≡
B
′
^
C
^
≡
C
′
^
e
a
a
′
=
b
b
′
=
c
c
′
)
{\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \left({\begin{matrix}{\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\\{\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\\{\hat {C}}\equiv {\hat {C'}}\end{matrix}}\qquad {\text{e}}\qquad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}\right)}
Sendo
k
{\displaystyle k}
a
a
′
=
b
b
′
=
c
c
′
=
k
{\displaystyle {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=k}
Então chamamos
k
{\displaystyle k}
Observe também que, se
k
=
1
{\displaystyle k=1}
Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades:
Reflexiva: todo triângulo é semelhante a si mesmo.
△
A
B
C
∼
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {ABC}}
Simétrica: se um triângulo é semelhante a outro, esse outro é semelhante ao primeiro.
△
A
B
C
∼
△
R
S
T
⟺
△
R
S
T
∼
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {RST}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \triangle {RST}\sim \triangle {ABC}}
Transitiva: se um triângulo é semelhante a outro, que por sua vez é semelhante a um terceiro triângulo, temos que o primeiro e o terceiro triângulo também são semelhantes.
△
A
B
C
∼
△
R
S
T
e
△
R
S
T
∼
△
X
Y
Z
⟺
△
A
B
C
∼
△
X
Y
Z
{\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {RST}\quad {\text{e}}\quad \triangle {RST}\sim \triangle {XYZ}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \triangle {ABC}\sim \triangle {XYZ}}
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.
D
E
↔
/
/
B
C
↔
⟺
△
A
D
E
∼
△
A
B
C
{\displaystyle {\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BC}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \triangle {ADE}\sim \triangle {ABC}}
Para demonstrar que dois triângulos são semelhantes é, conforme a definição, necessário demonstrar que eles têm ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais.
Portanto, essa demonstração será divida em duas partes, para demonstrar a relação entre os ângulos e os lados.
editar
Tem-se, por hipótese que
D
E
↔
/
/
B
C
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BC}}}
Assim percebe-se que, pelo postulado das paralelas, temos:
D
^
≡
B
^
{\displaystyle {\hat {D}}\equiv {\hat {B}}}
E
^
≡
C
^
{\displaystyle {\hat {E}}\equiv {\hat {C}}}
O ângulo
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
Logo os dois triângulos possuem ângulos ordenadamente congruentes.
editar
Por se tratar de um par de paralelas cortadas por duas transversais, é possível utilizar o teorema de Tales.
Fazendo isso, pode-se observar a relação:
A
D
A
B
=
A
E
A
C
{\displaystyle {\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}}
É possível construir uma paralela a
A
B
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}
E
{\displaystyle E}
Assim, essa paralela interceptará
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {BC}}}
F
{\displaystyle F}
Essa construção garante que:
E
F
↔
/
/
A
B
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {EF}}//{\overleftrightarrow {AB}}}
Logo o quadrilátero
B
D
E
F
{\displaystyle BDEF}
Sendo assim:
D
E
¯
≡
B
F
¯
{\displaystyle {\overline {DE}}\equiv {\overline {BF}}}
D
E
↔
/
/
B
F
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BF}}}
Utilizando mais uma vez o teorema de Tales (dessa vez com
E
F
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {EF}}}
A
B
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}
A
C
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {AC}}}
B
C
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {BC}}}
A
E
A
C
=
B
F
B
C
{\displaystyle {\frac {AE}{AC}}={\frac {BF}{BC}}}
Como
D
E
=
B
F
{\displaystyle DE=BF}
A
E
A
C
=
D
E
B
C
{\displaystyle {\frac {AE}{AC}}={\frac {DE}{BC}}}
Logo:
A
D
A
B
=
A
E
A
C
=
D
E
B
C
{\displaystyle {\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}={\frac {DE}{BC}}}
E então têm-se que os lados homólogos são proporcionais.
Como os dois triângulos têm os ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes, por definição.
Logo, se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.
editar
Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.
Queremos demonstrar que, para dois triângulos
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle {ABC}}
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {A'B'C'}}
A
^
≡
A
′
^
e
B
^
≡
B
′
^
⟹
△
A
B
C
∼
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}}
Para demonstrar isso, é útil supor, sem perda de generalidade, que os triângulos não são congruentes e que
A
B
¯
>
A
′
B
′
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}>{\overline {A'B'}}}
Seja
D
{\displaystyle D}
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
A
D
¯
≡
A
′
B
′
¯
{\displaystyle {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}}
A
D
E
{\displaystyle ADE}
D
^
≡
B
′
^
{\displaystyle {\hat {D}}\equiv {\hat {B'}}}
E
{\displaystyle E}
A
C
¯
{\displaystyle {\overline {AC}}}
Assim, é possível observar a seguinte congruência entre triângulos:
A
^
≡
A
′
^
e
A
D
¯
≡
A
′
B
′
¯
e
D
^
≡
B
′
^
(
A
L
A
)
⟹
△
A
D
E
≡
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {D}}\equiv {\hat {B'}}\quad (ALA)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ADE}\equiv \triangle {A'B'C'}}
Observe que, como
B
^
≡
B
′
^
{\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}}
B
′
^
≡
D
^
{\displaystyle {\hat {B'}}\equiv {\hat {D}}}
B
^
≡
D
^
{\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {D}}}
D
E
↔
/
/
B
C
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BC}}}
Conforme o teorema fundamental da semelhança, demonstrado acima, temos que
D
E
↔
/
/
B
C
↔
{\displaystyle {\overleftrightarrow {DE}}//{\overleftrightarrow {BC}}}
△
A
B
C
∼
△
A
D
E
{\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {ADE}}
Visto que
△
A
D
E
≡
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {ADE}\equiv \triangle {A'B'C'}}
△
A
B
C
∼
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}}
Logo, para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que dois de seus ângulos sejam ordenadamente congruentes.
Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os dois triângulos são semelhantes.
A demonstração desse caso é análoga a do 1° caso, porém se utiliza de outro caso de congruência.
Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.
A demonstração desse caso é análoga à demonstração dos dois casos anteriores, porém utiliza outro caso de congruência.
Seja dois triângulos semelhantes nos quais a razão de semelhança é
k
{\displaystyle k}
[ 2]
a razão entre os perímetros é
k
{\displaystyle k}
a razão entre as alturas homólogas é
k
{\displaystyle k}
a razão entre as medianas homólogas é
k
{\displaystyle k}
a razão entre as bissetrizes internas homólogas é
k
{\displaystyle k}
a razão entre os raios dos círculos inscritos é
k
{\displaystyle k}
a razão entre os raios dos círculos circunscritos é
k
{\displaystyle k}
Ou seja, a razão entre dois elementos lineares homólogos é
k
{\displaystyle k}
Quanto à áreas temos os seguintes resultados: a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é
k
2
{\displaystyle k^{2}}
Demonstrações das propriedades anteriores.
editar
Triângulos semelhantes Se dois triângulos são semelhantes de razão
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
Assim, seja os triângulos
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle {ABC}}
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {A'B'C'}}
△
A
B
C
∼
△
A
′
B
′
C
′
⟹
a
a
′
=
b
b
′
=
c
c
′
=
k
{\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}\qquad \Longrightarrow \qquad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=k}
Para essa demonstração é útil escrever essas relações da seguinte forma:
{
a
=
a
′
.
k
b
=
b
′
.
k
c
=
c
′
.
k
{\displaystyle {\begin{cases}a=a'.k\\b=b'.k\\c=c'.k\end{cases}}}
Visto que o perímetro é a soma da medida de todos os lados, tem-se:
p
=
a
+
b
+
c
{\displaystyle p=a+b+c}
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle {ABC}}
p
′
=
a
′
+
b
′
+
c
′
{\displaystyle p'=a'+b'+c'}
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {A'B'C'}}
Assim, tem-se que a razão entre os perímetros é:
p
p
′
=
a
+
b
+
c
a
′
+
b
′
+
c
′
=
a
′
.
k
+
b
′
.
k
+
c
′
.
k
a
′
+
b
′
+
c
′
=
k
.
(
a
′
+
b
′
+
c
′
)
a
′
+
b
′
+
c
′
=
k
{\displaystyle {\frac {p}{p'}}={\frac {a+b+c}{a'+b'+c'}}={\frac {a'.k+b'.k+c'.k}{a'+b'+c'}}={\frac {k.(a'+b'+c')}{a'+b'+c'}}=k}
Logo a razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão entre os triângulos.
Imagem para demonstração Se dois triângulos são semelhantes de razão
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
Por hipótese, tem-se:
△
A
B
C
∼
△
A
′
B
′
C
′
⟹
a
a
′
=
b
b
′
=
c
c
′
=
k
e
A
^
≡
B
^
≡
C
^
{\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}\qquad \Longrightarrow \qquad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=k\quad {\text{e}}\quad {{\hat {A}}\equiv {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}}}
Seja o segmento
C
H
¯
{\displaystyle {\overline {CH}}}
C
{\displaystyle C}
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle {ABC}}
C
′
H
′
¯
{\displaystyle {\overline {C'H'}}}
C
′
{\displaystyle C'}
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {A'B'C'}}
C
H
^
B
=
C
′
H
′
^
B
′
=
90
∘
{\displaystyle C{\hat {H}}B=C'{\hat {H'}}B'=90^{\circ }}
Como
C
H
^
B
=
C
′
H
′
^
B
′
=
90
∘
{\displaystyle C{\hat {H}}B=C'{\hat {H'}}B'=90^{\circ }}
B
^
≡
B
′
^
{\displaystyle {\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}}
△
C
H
B
∼
△
C
′
H
′
B
′
{\displaystyle \triangle {CHB}\sim \triangle {C'H'B'}}
Dessa semelhança, obtêm-se:
a
a
′
=
C
H
C
′
H
′
=
H
B
H
′
B
′
{\displaystyle {\frac {a}{a'}}={\frac {CH}{C'H'}}={\frac {HB}{H'B'}}}
Como
C
H
=
h
{\displaystyle CH=h}
C
′
H
′
=
h
′
{\displaystyle C'H'=h'}
a
a
′
=
k
{\displaystyle {\frac {a}{a'}}=k}
h
h
′
=
k
{\displaystyle {\frac {h}{h'}}=k}
Logo a razão entre as medidas das alturas de dois triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança entre os triângulos.
Se dois triângulos são semelhantes de razão
k
{\displaystyle k}
k
2
{\displaystyle k^{2}}
Assim, seja os triângulos
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle {ABC}}
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {A'B'C'}}
Imagem para demonstração da razão entre as áreas de triângulos semelhantes
△
A
B
C
∼
△
A
′
B
′
C
′
⟹
a
a
′
=
b
b
′
=
c
c
′
=
k
{\displaystyle \triangle {ABC}\sim \triangle {A'B'C'}\qquad \Longrightarrow \qquad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=k}
Sendo
h
{\displaystyle h}
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle {ABC}}
h
′
{\displaystyle h'}
A
′
B
′
¯
{\displaystyle {\overline {A'B'}}}
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle {A'B'C'}}
h
h
′
=
k
{\displaystyle {\frac {h}{h'}}=k}
Observe também que
A
B
¯
=
c
{\displaystyle {\overline {AB}}=c}
A
′
B
′
¯
=
c
′
{\displaystyle {\overline {A'B'}}=c'}
Então, é possível calcular a razão entre a área dos triângulos:
A
A
B
C
A
A
′
B
′
C
′
=
c
.
h
2
c
′
.
h
′
2
=
c
.
h
2
.
2
c
′
.
h
′
=
c
c
′
.
h
h
′
=
k
.
k
=
k
2
{\displaystyle {\frac {A_{ABC}}{A_{A'B'C'}}}={\frac {\frac {c.h}{2}}{\frac {c'.h'}{2}}}={\frac {c.h}{2}}.{\frac {2}{c'.h'}}={\frac {c}{c'}}.{\frac {h}{h'}}=k.k=k^{2}}
Logo a razão entre as medidas das áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os triângulos.
