Sigma-álgebra de Lebesgue

Em matemática, sobretudo na teoria da medida, a álgebra de Lebesgue é uma família de conjuntos que recebem o nome de conjuntos mensuráveis à Lebesgue, ou ainda, conjuntos Lebesgue mensuráveis.

Esta família é formada por subconjuntos do , forma uma sigma-álgebra e é denotada normalmente por .

A álgebra de Lebesgue contém todos os conjuntos abertos e fechados e portanto todos os conjuntos da álgebra de Borel.[1]

Definição

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Um subconjunto   de   pertence a   se e somente se tiver a seguinte propriedade:[2]

 

onde   é a medida exterior de Lebesgue.

Definição equivalente

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Um subconjunto   de   pertence a   se e somente se estiver entre dois borelianos cuja diferença tem medida zero:[1]

 

Pode-se mostrar que é possível supor   e  .[1]

Referências

  1. a b c Stein, Elias M., 1931-2018,. Real analysis : measure theory, integration, and Hilbert spaces. Princeton, N.J.: [s.n.] ISBN 0691113866. OCLC 57750299 
  2. Royden, H. L.; Royden, H. L. (2010). Real analysis 4th ed ed. Boston: Prentice Hall. ISBN 013143747X. OCLC 456836719 
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