No espaço livre e no espaço-tempo plano, o tensor eletromagnético tensão–energia em unidades do S.I. é:<refname="WheelerEtAl"/>
T
μ
ν
=
1
μ
0
[
F
μ
α
F
ν
α
−
1
4
η
μ
ν
F
α
β
F
α
β
]
.
{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}
onde
F
μ
ν
{\displaystyle F^{\mu \nu }}
é o tensor eletromagnético e onde
η
μ
ν
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}
é o tensor métrico de Minkowski [en ] de assinatura métrica (− + + +) . Ao usar a métrica com assinatura (+ − − −) , a expressão à direita do sinal de igual terá sinal oposto.
Explicitamente em forma de matriz:
T
μ
ν
=
[
1
2
(
ϵ
0
E
2
+
1
μ
0
B
2
)
1
c
S
x
1
c
S
y
1
c
S
z
1
c
S
x
−
σ
xx
−
σ
xy
−
σ
xz
1
c
S
y
−
σ
yx
−
σ
yy
−
σ
yz
1
c
S
z
−
σ
zx
−
σ
zy
−
σ
zz
]
,
{\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},}
onde
S
=
1
μ
0
E
×
B
,
{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}
é o vetor de Poynting ,
σ
i
j
=
ϵ
0
E
i
E
j
+
1
μ
0
B
i
B
j
−
1
2
(
ϵ
0
E
2
+
1
μ
0
B
2
)
δ
i
j
{\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}
é o tensor de tensão de Maxwell e c é a velocidade da luz . Assim,
T
μ
ν
{\displaystyle T^{\mu \nu }}
é expresso e medido em unidades de pressão do S.I. (pascal ).
Convenções de unidades C.G.S.
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A permissividade do espaço livre e a permeabilidade do espaço livre em unidades gaussianas c.g.s. são:
ϵ
0
=
1
4
π
,
μ
0
=
4
π
{\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi \,}
então:
T
μ
ν
=
1
4
π
[
F
μ
α
F
ν
α
−
1
4
η
μ
ν
F
α
β
F
α
β
]
.
{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}
e na forma de matriz explícita:
T
μ
ν
=
[
1
8
π
(
E
2
+
B
2
)
1
c
S
x
1
c
S
y
1
c
S
z
1
c
S
x
−
σ
xx
−
σ
xy
−
σ
xz
1
c
S
y
−
σ
yx
−
σ
yy
−
σ
yz
1
c
S
z
−
σ
zx
−
σ
zy
−
σ
zz
]
{\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}}
onde o vetor de Poynting se torna:
S
=
c
4
π
E
×
B
.
{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}
O tensor tensão-energia para um campo eletromagnético em um meio dielétrico é menos bem compreendido e é o assunto da controvérsia não resolvida de Abraham – Minkowski.[ 2]
O elemento
T
μ
ν
{\displaystyle T^{\mu \nu }\!}
do tensor tensão-energia representa o fluxo do μ-ésimo componente do quadrimomento do campo eletromagnético,
P
μ
{\displaystyle P^{\mu }\!}
, passando por um hiperplano (
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }}
é constante ). Representa a contribuição do eletromagnetismo para a fonte do campo gravitacional (curvatura do espaço-tempo) na relatividade geral .
Propriedades algébricas
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O tensor eletromagnético tensão-energia tem várias propriedades algébricas:
É um tensor simétrico:
T
μ
ν
=
T
ν
μ
{\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }}
O tensor
T
ν
α
{\displaystyle T^{\nu }{}_{\alpha }}
não tem traços:
T
α
α
=
0.
{\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha }=0.}
Prova
Usando a forma explícita do tensor,
T
μ
μ
=
1
4
π
[
η
μ
ν
F
μ
α
F
ν
α
−
η
μ
ν
η
μ
ν
1
4
F
α
β
F
α
β
]
{\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[\eta _{\mu \nu }F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}
Baixando os índices e usando o fato de que
η
μ
ν
η
μ
ν
=
δ
μ
μ
{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\eta _{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }}
T
μ
μ
=
1
4
π
[
F
μ
α
F
μ
α
−
δ
μ
μ
1
4
F
α
β
F
α
β
]
{\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}
Então, usando
δ
μ
μ
=
4
{\displaystyle \delta _{\mu }^{\mu }=4}
,
T
μ
μ
=
1
4
π
[
F
μ
α
F
μ
α
−
F
α
β
F
α
β
]
{\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}
Observe que no primeiro termo, μ e α e apenas índices fictícios, então os renomeamos como α e β, respectivamente.
T
α
α
=
1
4
π
[
F
α
β
F
α
β
−
F
α
β
F
α
β
]
=
0
{\displaystyle T_{\alpha }^{\alpha }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]=0}
T
00
≥
0
{\displaystyle T^{00}\geq 0}
A simetria do tensor é como para um tensor tensão–energia geral na relatividade geral . O traço do tensor energia–momento é um escalar de Lorentz ; o campo eletromagnético (e em particular as ondas eletromagnéticas) não tem escala de energia invariante de Lorentz , então seu tensor de energia-momento deve ter um traço de fuga. Essa ausência de traços eventualmente se relaciona com a falta de massa do fóton .[ 3]
O tensor eletromagnético tensão–energia permite uma maneira compacta de escrever as leis de conservação de energia e de momento linear no eletromagnetismo. A divergência do tensor tensão–energia é:
∂
ν
T
μ
ν
+
η
μ
ρ
f
ρ
=
0
{\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,}
onde
f
ρ
{\displaystyle f_{\rho }}
é a força de Lorentz (4D) por unidade de volume na matéria .
Esta equação é equivalente às seguintes leis de conservação 3D
∂
u
e
m
∂
t
+
∇
⋅
S
+
J
⋅
E
=
0
∂
p
e
m
∂
t
−
∇
⋅
σ
+
ρ
E
+
J
×
B
=
0
⇔
ϵ
0
μ
0
∂
S
∂
t
−
∇
⋅
σ
+
f
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} &=0\ \Leftrightarrow \ \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}-\nabla \cdot \mathbf {\sigma } +\mathbf {f} =0\end{aligned}}}
descrevendo respectivamente o fluxo de densidade de energia eletromagnética
u
e
m
=
ϵ
0
2
E
2
+
1
2
μ
0
B
2
{\displaystyle u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,}
e densidade de momento eletromagnético
p
e
m
=
S
c
2
{\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S} \over {c^{2}}}}
onde J é a densidade de corrente elétrica , ρ a densidade de carga elétrica e
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
é a densidade de força de Lorentz.
↑ Gravitation (em inglês), J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co , 1973, ISBN 0-7167-0344-0
↑ No entanto, veja Pfeifer et al. , Review of modern physics (em inglês) 79, página 1197 (2007)
↑ Garg, Anupam. Classical electromagnetism in a nutshell (em inglês), página 564 (Princeton university press , 2012).