Teorema da máxima transferência de potência

Em Engenharia elétrica, o teorema de máxima transferência de potência demonstra que, para obter máxima potência sobre uma carga externa a partir de uma fonte com resistência interna finita, o valor de resistência da carga externa deve ser igual ao valor de resistência interna da fonte, visto a partir de seus terminais de saída. Moritz von Jacobi publicou o teorema de máxima transferência de potência por volta do ano de 1840; sendo também referido como "Lei de Jacobi".

Prova matemática para circuitos puramente resistivos

Simple circuit diagram, with real voltage source and a resistive load.

No esquema elétrico ilustrado à esquerda, a energia está sendo transferida da fonte, que possui tensão V_S e resistência interna R_S fixa, para uma carga R_L, onde, através da Lei de Ohm, resulta em uma corrente i_L tal que:

$i_{\mathrm {L} }={\frac {V}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}$

A potência P_L dissipada na carga é definida como:

$P_{\mathrm {L} }=i_{\mathrm {L} }^{2}R_{\mathrm {L} }=\left({\frac {V}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}\right)^{2}R_{\mathrm {L} }={\frac {V^{2}}{R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}$

O valor que a carga R_L deve asssumir para que exista a máxima transferência de potência pode ser deduzida encontrando o ponto de mínimo do denominador, onde considera-se R_L como a variável:

$R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }$

Para encontrar o ponto de mínimo, ou máximo, de uma função uma possível solução é aplicar uma derivada de primeira ordem e igualá-la a zero:

${\frac {d}{dR_{\mathrm {L} }}}\left(R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }\right)=-R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}+1$

Pontanto, para que exista a máxima transferência de potência da fonte para a carga, a seguinte condição deve ser atendida:

$R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}=1$

ou:

$R_{\mathrm {L} }=\pm R_{\mathrm {S} }$

Valores resistivos reais podem assumir apenas valores posivivos, sendo assim, concluí-se que ambas resistências devem ser iguais:

$R_{\mathrm {L} }=R_{\mathrm {S} }$