Teorema da recorrência de Poincaré

Na física, o teorema de recorrência de Poincaré afirma que certos sistemas, após um tempo suficientemente longo, finito, retornarão para um estado muito próximo ao estado inicial. O tempo de recorrência de Poincaré é o período de tempo decorrido até a recorrência (esta por sua vez pode variar muito dependendo do estado inicial exato e do grau de proximidade requerido). O resultado aplica-se a sistemas mecânicos isolados sujeitos a algumas restrições, por exemplo, todas as partículas devem estar ligadas a um volume finito. O teorema é comumente discutido no contexto da teoria ergódica, sistemas dinâmicos e mecânica estatística.

O teorema tem o nome de Henri Poincaré que o propôs inicialmente em 1890 e que foi provado por Constantin Carathéodory usando a teoria das medidas, em 1919.

Teorema

Seja $T$ uma transformação que preserva volume em um espaço de volume finito. Então para uma vizinhança $U$ qualquer existe um ponto $x\in U$ tal que $T^{n}(x)\in U$ para algum $n$ suficientemente grande, e o conjunto de pontos de $U$ que nunca retornam a $U$ tem medida zero.

Demonstração

Considere as imagens $U,T(U),T^{2}(U)\dots$. Note que como $T$ preserva volume, então todas tem o mesmo volume. Além disso, como o volume inicial era finito, então algumas imagens se interceptam, então existem $l>k\geq 0$ tal que $T^{l}(U)\cap T^{k}(U)\neq \emptyset$ então $T^{l-k}(U)\cap U\neq \emptyset$ e portanto existe ponto $x\in U$ onde $T^{l-k}(x)\in U$. Isso prova a primeira parte.

Para a segunda parte considere $V$ o conjunto de pontos de $U$ que nunca retornam a $U$, então $V,T(V),T^{2}(V)\dots$ precisa formar um conjunto disjunto. Como $T$ preserva volume, então se $V$ tivesse volume não nulo, teríamos que $\cup _{n\in N}T^{n}(V)$ teria volume infinito, mas por hipótese $T$ está definida em um espaço de volume finito, portanto o volume de $V$ tem que ser zero.